Resumen de unidad dos de calculo diferencial
Enviado por Alvaro Francisco Rodríguez • 4 de Diciembre de 2015 • Tareas • 573 Palabras (3 Páginas) • 293 Visitas
Función logarítmica
Para justificar la definición de logaritmos, es necesario mostrar que la ecuación
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Tiene una solución x y que esta solución es única, provista de que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio del cálculo elemental.2 Este teorema establece que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n. Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la función f(x) = bx. Puesto que f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier número y > 0 que se encuentra entre f(x0) y f(x1) para un adecuado x0 y x1. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que la función f es estrictamente creciente (para b > 1), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1).3
Función inversa
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Gráfico de la función logarítmica logb(x) (azul) se obtiene mediante reflexión del gráfico de la función bx (roja) sobre la línea diagonal (x = y).
La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier número x,
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Las funciones inversas están íntimamente relacionadas con las funciones originales. Sus gráficos se corresponden el uno con el otro mediante el intercambio de las coordenadas x e y (o por reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en la figura de la derecha: un punto (t, u = bt) sobre el gráfico de f proporciona un punto (u, t = logbu) sobre el gráfico del logaritmo y viceversa. Como consecuencia, logb(x) diverge a infinito (se hace más grande que cualquier número dado) si x tiende a infinito, siempre que b sea mayor que 1. En ese caso, logb(x) es un función creciente. Parab < 1, logb(x) tiende a menos infinito en lugar de a infinito. Cuando x se aproxima a cero, logb(x) tiende a menos infinito para b > 1 (a más infinito cuando b < 1, respectivamente).
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