CALCULO DIFERENCIAL" Unidad 2

Escuela Preparatoria Oficial N°5

“CALCULO DIFERENCIAL”

Alumno: Eduardo Molinos Bañuelos

“UNIDAD II”

Profa.: María del Carmen Ramírez Romero

Grado: 3° Grupo: II

CICLO ESCOLAR

2012-2013

UNIDAD 2 LIMITE DE FERMAT

Contenido

2.1. Movimiento de la secante en una curva

2.2. Cálculo de pendiente de la secante

2.3. Límite de Fermat

2.4. Límites indeterminados

2.4.1. Cálculo de límites de Funciones Algebraicas Contextualizadas

2.1. Movimiento de la secante en una curva

Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos diferentes de una curva.

En la siguiente figura se ha representado gráficamente una recta L secante a una curva:

Como al conocer la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda completamente determinada, se tiene que el problema de trazar una recta tangente a una curva dada, por un punto de esta, se reduce a encontrar la pendiente de la recta.

Consideremos la representación grafica de una curva con ecuación y = f(x), donde f es una función continua.

Se desea trazar la recta tangente en un punto P (xo; yo) dado de la curva.

Sea PQ la recta secante que pasa por los puntos P (xo; yo) y Q(x; y) de la curva.

La pendiente de esta secante, denotada ms esta dada por: ms =

Como la pendiente de una recta es igual a la tangente del Angulo que forma la recta con la parte positiva del eje X, y como 0 es ese Angulo para la recta secante, entonces:

Ejemplo 1

Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación f(x) = x-3x, en el punto (1; -2).

La ecuación de la recta tangente es: y = mx + b. Utilizando la definición anterior vamos a averiguar la pendiente en (1; -2).

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es y = ¡x ¡ 1.

La representación grafica de la curva y de la recta tangente es el siguiente:

2.2. Cálculo de pendiente de la secante

Se dice que la recta normal a una curva en el punto P (xo; yo), es la línea que pasa por P y es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Además, recuerde que dos líneas no verticales son perpendiculares entre si, si y solo si sus pendientes tienen valores recíprocos negativos.

Note que la velocidad promedio de la partícula no es constante, y que además esta no proporciona información especifica referente al movimiento de la partícula en cualquier instante determinado.

Para el movimiento anterior, la velocidad media desde t = 3 segundos hasta otro tiempo t cualquiera, esta dada por:

Si quisiéramos determinar la velocidad al final de 3 segundos, es decir la velocidad instantánea cuando t = 3 no podríamos averiguarla con la formula anterior, pues si se sustituye t = 3 el denominador se hace cero.

Sin embargo, cuanto más corto sea el intervalo de t a t = 3 segundos, la velocidad promedio estará más cerca de lo que intuitivamente se considerarla como la velocidad instantánea en t = 3seg.

Surge así la siguiente definición sobre la velocidad instantánea:

Definición:

Si una partícula se mueve sobre una línea recta de tal forma que su distancia dirigida s, a un punto fijo de la recta esta dada en función del tiempo por la ecuación s = s(t), entonces la velocidad en cualquier instante t1 es:

Recibe el nombre de movimiento rectilíneo el efectuado por una partícula a lo largo de una línea recta.

Sea s la función con ecuación s(t) = t 2 + 1, que describe la distancia dirigida de la partícula a un punto fijo O, en cualquier tiempo t, (s se mide en metros y t en segundos).

2.3. Límite de Fermat

(Beaumont, Francia, 1601-Castres, id., 1665) Matemático francés. Poco se conoce de sus primeros años, excepto que estudió derecho, posiblemente en Toulouse y Burdeos. Interesado por las matemáticas, en 1629 abordó la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matemático griego Apolonio relativas a los lugares geométricos;

A tal efecto desarrollaría, contemporánea e independientemente de René Descartes, un método algebraico para tratar cuestiones de geometría por medio de un sistema de coordenadas. Mediante el cual pudo determinar los valores máximos y mínimos de una curva poli nómica, trazar las correspondientes tangentes, logros todos ellos que abrieron el camino al desarrollo ulterior del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz. Tras asumir correctamente que cuando la luz se desplaza en un medio más denso su velocidad disminuye, demostró que el camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho principio,

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