Unidad 1 Cálculo Diferencial

NÚMEROS REALES

El concepto de números reales surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del año 1.000 a.C. El desarrollo de la noción continuó con los aportes de los griegos, que proclamaron la existencia de los números irracionales.

Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671); esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).

Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).

Es importante tener en cuenta que los números reales permiten completar cualquier tipo de operación básica con dos excepciones: las raíces de orden par de los números negativos no son números reales (aquí aparece la noción de número complejo) y no existe la división entre cero (no es posible dividir algo entre nada).

La recta numérica

Línea recta en la que cada punto representa un número real. Es la representación geométrica de valores numéricos.

La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (hacia la derecha) y los negativos en el otro (hacia la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo para este conjunto.

Los números reales

El término número real se utiliza para indicar un número que es racional o irracional. El sistema de los números reales consta de todas las posibles expresiones decimales. Aquellos decimales que terminan o se repiten corresponden a los números racionales mientras que los restantes corresponden a los números irracionales.

Propiedades de los números reales

Propiedades conmutativas

Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces:

a+b=b+a y ab=ba

Esta propiedad establece que no importa el orden en que dos números son sumados o multiplicados, obtendremos el mismo resultado con cualquier orden que sigamos. Se conocen como propiedades conmutativas de la adición y la multiplicación.

Propiedades Asociativas

Si a,b y c son tres números reales cualquiera, entonces:

(a+b)+c=a+(b+c) y (ab)c=a(bc)

Esto se conoce como propiedades asociativas de la adición y la multiplicación; establece que si tres números se suman o multiplican a la vez, no importa cuáles dos de ellos se sumen o multipliquen en primer término, obtenemos la misma respuesta en ambos casos.

Propiedades Distributivas

Si a,b y c son tres números reales cualquiera, entonces:

a(b+c)=ab+ac y (b+c)a=ba+ca

Puesto que los segundos miembros son iguales uno a otro en virtud de la primera propiedad distributiva, los lados de la izquierda deben ser iguales.

Tricotomía

Es el resultado que se obtiene al comparar dos números a, b, que pertenezcan a los números reales (R), que cumplan con una y solo una de las condiciones siguientes:

a<b

a>b

a=b

Transitividad

Es la que permite comparar tres números reales a, b y c, de tal forma que, cuando un número entero es menor que otro y éste es menor a un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Densidad

Los puntos que existen en la recta numérica de números reales es densa, esto quiere decir que no hay espacio alguno entre un numero real y otro.

Dados dos números reales distintos x < y, siempre existe otro número real tal que

para cualquier x, y ∈ R;

si x < y;

q ∈Q tal que x < q < y.

Entonces si x < 0 < y esto implica que q = 0 y así se cumple que x < q < y.

La recta numérica permite visualizar que dado dos números racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los números dados. Esta propiedad es característica de los números racionales y se denomina Densidad.

Axioma del supremo

En donde:

Además:

Es decir:

Su importancia

1) Este axioma es característico de los números reales. Los racionales por ejemplo, no lo cumplen:

Sea , pues al menos .

Además, por ejemplo, 2 es una cota superior de .

Sin embargo, no existe .

Es decir, no existe un racional que sea la mínima de todas las cotas superiores.

Observe que:

Todos los racionales que son cotas superiores de son mayores que ,

pero a la vez existen racionales tan cerca de como se quiera.

1.4 Intervalos y su representación por medio de desigualdades

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto

Intervalo abierto,

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