Unidad 1 Cálculo Diferencial

NÚMEROS REALES

El concepto de números reales surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del año 1.000 a.C. El desarrollo de la noción continuó con los aportes de los griegos, que proclamaron la existencia de los números irracionales.

Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671); esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).

Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).

Es importante tener en cuenta que los números reales permiten completar cualquier tipo de operación básica con dos excepciones: las raíces de orden par de los números negativos no son números reales (aquí aparece la noción de número complejo) y no existe la división entre cero (no es posible dividir algo entre nada).

La recta numérica

Línea recta en la que cada punto representa un número real. Es la representación geométrica de valores numéricos.

La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (hacia la derecha) y los negativos en el otro (hacia la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo para este conjunto.

Los números reales

El término número real se utiliza para indicar un número que es racional o irracional. El sistema de los números reales consta de todas las posibles expresiones decimales. Aquellos decimales que terminan o se repiten corresponden a los números racionales mientras que los restantes corresponden a los números irracionales.

Propiedades de los números reales

Propiedades conmutativas

Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces:

a+b=b+a y ab=ba

Esta propiedad establece que no importa el orden en que dos números son sumados o multiplicados, obtendremos el mismo resultado con cualquier orden que sigamos. Se conocen como propiedades conmutativas de la adición y la multiplicación.

Propiedades Asociativas

Si a,b y c son tres números reales cualquiera, entonces:

(a+b)+c=a+(b+c) y (ab)c=a(bc)

Esto se conoce como propiedades asociativas de la adición y la multiplicación; establece que si tres números se suman o multiplican a la vez, no importa cuáles dos de ellos se sumen o multipliquen en primer término, obtenemos la misma respuesta en ambos casos.

Propiedades Distributivas

Si a,b y c son tres números reales cualquiera, entonces:

a(b+c)=ab+ac y (b+c)a=ba+ca

Puesto que los segundos miembros son iguales uno a otro en virtud de la primera propiedad distributiva, los lados de la izquierda deben ser iguales.

Tricotomía

Es el resultado que se obtiene al comparar dos números a, b, que pertenezcan a los números reales (R), que cumplan con una y solo una de las condiciones siguientes:

a<b

a>b

a=b

Transitividad

Es la que permite comparar tres números reales a, b y c, de tal forma que, cuando un número entero es menor que otro y éste es menor a un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Densidad

Los puntos que existen en la recta numérica de números reales es densa, esto quiere decir que no hay espacio alguno entre un numero real y otro.

Dados dos números reales distintos x < y, siempre existe otro número real tal que

para cualquier x, y ∈ R;

si x < y;

q ∈Q tal que x < q < y.

Entonces si x < 0 < y esto implica que q = 0 y así se cumple que x < q < y.

La recta numérica permite visualizar que dado dos números racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los números dados. Esta propiedad es característica de los números racionales y se denomina Densidad.

Axioma del supremo

En donde:

Además:

Es decir:

Su importancia

1) Este axioma es característico de los números reales. Los racionales por ejemplo, no lo cumplen:

Sea , pues al menos .

Además, por ejemplo, 2 es una cota superior de .

Sin embargo, no existe .

Es decir, no existe un racional que sea la mínima de todas las cotas superiores.

Observe que:

Todos los racionales que son cotas superiores de son mayores que ,

pero a la vez existen racionales tan cerca de como se quiera.

1.4 Intervalos y su representación por medio de desigualdades

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.

1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas.

Inecuaciones de primer grado con una incógnita

1º Quitar corchetes y paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

4º Efectuar las operaciones

5º Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

6º Despejamos la incógnita.

7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.

Desigualdades cuadráticas.

Para resolver desigualdades de la forma ax2 + bx + c >< 0, encontramos primero las raíces del término cuadrático y luego generamos una tabla de signos.

EJEMPLO A: Resolver x2 + 5x + 6 > 0

Las raíces del término cuadrático son –2 y –3. Con éstas se construye una tabla de signos.

Para obtener el signo de cada intervalo, basta con sustituir cualquier número dentro del intervalo en el término cuadrático, y trasladar su signo a la tabla. Por ejemplo, para obtener el signo del intervalo ]–3, –2[ sustituimos cualquier número dentro de este intervalo, por ejemplo x = –2.5. Al sustituir, obtenemos: (–2.5)2 + 5(–2.5) + 6 = –0.25. Como el signo del resultado es negativo, trasladamos un signo negativo a la tabla.

Con la tabla como base, notamos que la desigualdad original exige escoger todos aquéllos intervalos con resultados mayores o iguales a cero (porque x2 + 5x + 6 > 0; nótese que se pide mayor o igual a cero). Por lo tanto, el conjunto solución sería: ]–¥ , –3] È [–2, +¥ [.

1.6 Valor absoluto y sus propiedades

El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo con respecto al 0 en la recta numérica.

El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo. Este valor puede ser conocido también como el módulo del número.

El valor absoluto de un número x se escribe como | x |, y se lee como “módulo de x”.

Por ejemplo, la posición de 2 y −2 en la recta numérica indica que −2 <2, pero que ambos están a la misma distancia de 0.

Por lo tanto, se dice que −2 y 2 tienen el mismo valor absoluto.

En el caso de los números reales las generalidades del valor absoluto pueden encontrarse en una amplia variedad de ajustes aritméticos.

Por ejemplo, el valor absoluto puede ser descrito por los cuaterniones, números complejos, los campos, anillos ordenados, así como para los espacios vectoriales.

Estos valores están directamente relacionados con los conceptos de distancia, magnitud y norma en la variedad de contextos físicos y matemáticos.

Para cualquier número, si:

Entonces | x | = x y si

x ‹ 0 entonces | x | = -x

Las propiedades fundamentales del valor absoluto son:

No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo.

Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa.

| x | = 0 x = 0

Propiedad

...