SOLUCION DE EXAMEN DE MATEMATICA AVANZADA

PROBLEMA 1.

1. Sea [pic 1]una función tal que [pic 2] es analítica en el dominio[pic 3] , entonces para cualquier [pic 4]y cualquier curva  [pic 5]contenido en  [pic 6] que encierra a [pic 7]demuestre la fórmula de la integral de Cauchy.

[pic 8]

Solución:

[pic 9]…(1.1)

La función f (z)/(z − ) es analítica sobre y en el interior de C excepto en el punto z = .[pic 10][pic 11]

[pic 12]

donde Γ se elige como una circunferencia de radio e con centro en a. De este modo, una ecuación de Γ es |z −| =  o z –  = , donde 0 ≤ u < 2 Se sustituye z =  +  dz =y la integral de la derecha en (1) se convierte en[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

[pic 21]

De manera que, de acuerdo con (1),

[pic 22]

Se toman límites en ambos lados de (2) y, mediante la continuidad de f(z), se tiene:

[pic 23]

[pic 24]

con lo que se obtiene, como se buscaba:

[pic 25]

PROBLEMA 3.

3.1.  Teorema de Morera.

Sea C una curva cerrada simple que encierra un dominio simplemente conexo D, sea  [pic 26]   una función continua, con derivada continua en D tal que  [pic 27]Demuestre que f (z) es analítica D.

Solución:

Demostración, en efecto, como

[pic 28]

[pic 29]

Entonces [pic 30], cumplen con las ecuaciones de Cauchy-Riemann y como estas derivadas son continuas entonces [pic 31] es analítica.

3.2. Demuestre la fórmula de Euler  [pic 32].

Solución:

Partiendo de las Series de Taylor (1), (2) y (3):

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

Si sustituimos “x” por “z·i”

Si consideramos que i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1, etc.
Si agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro, entonces:

[pic 36]

Sustituyendo tenemos:

[pic 37]

Sustituyendo z por π (PI):

[pic 38]

Por lo tanto, obtenemos la Identidad de Euler / Lindeman:

[pic 39]

PROBLEMA 4.

Sea la función   .[pic 40]

1. Demostrar que  es una función armónica.[pic 41]
2. Hallar la función  que sea armónica conjugada de .[pic 42][pic 43]
3. Obtener  siendo [pic 44][pic 45]

Solución:

1. Demostrar que  es una función armónica.[pic 46]

Por derivadas parciales:

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

...