Sistemas Mecánicos Lineales
Enviado por marcelomm • 6 de Enero de 2017 • Apuntes • 1.998 Palabras (8 Páginas) • 347 Visitas
Sistemas Mecánicos Lineales
Tres elementos pasivos o parámetros del sistema corresponden a los coeficientes en las expresiones de los tres tipos de fuerzas mecánicas que resisten al movimiento. Se estudiara primero los sistemas de translación y luego los de rotación.
Movimiento de translación
Fuerza de inercia: La 2º ley de Newton del movimiento establece que la fuerza de inercia es igual a la masa por la aceleración.
= M⋅a(t)= M⋅Du(t)= M⋅ x(t)
Donde a denota la aceleración, u la velocidad, x el desplazamiento y M masa.
Fuerza de amortiguador: En sistemas lineales se asume que la fuerza de amortiguación es proporcional a la velocidad. Sin embargo, esto es válido solo en el caso de roce viscoso.
= B⋅u(t)= BDx(t)
B es coeficiente de amortiguación.
Fuerza de resorte: La fuerza de recuperación de un resorte es proporciona al desplazamiento .
- = u(t).
Donde K es la elasticidad del resorte.[pic 1][pic 2]
A continuación la representación de los tres elementos pasivos:
[pic 3]
En sistemas mecánicos, se definen dos tipos de fuentes ideales (elementos activos) similar a circuitos eléctricos. La primera es la fuente de fuerza f(t) cuya fuerza desarrollada se asume independiente de lo que está conectada a ella. La segunda es la fuente de velocidad v(t) cuya velocidad desarrollada se asume independiente de lo que está conectada a ella.
Principio de D´Alembert, aplica a problemas de equilibrio considerando fuerzas aplicadas externamente ( fuentes ) y fuerzas de reacción de elementos mecánicos que se oponen al movimiento. Este principio se puede establecer como sigue:
Para cualquier cuerpo, la suma algebraica de fuerzas aplicadas y las fuerzas resistentes al movimiento en cualquier dirección dada es cero.
El principio de D´Alembert aplica a todo instante de tiempo. Primero se debe escoger una dirección de referencia positiva. Fuerzas que actúan en la dirección de la referencia se consideran positivas y aquellas contrarias a la dirección de referencia se consideran negativas.
Veamos un ejemplo considerando el siguiente sistema:
[pic 4]
La masa M es acoplada a una muralla fija a través de un amortiguador B y un resorte K, en este ejemplo se asume que el piso donde se desliza la masa es de roce nulo. Se trabajará con la variable velocidad u(t).
Fuerzas externas: f(t) . | ||||
Fuerzas resistentes: fuerza de inercia, | = -MDu(t), | |||
fuerza de amortiguación, | = -Bu(t), | |||
fuerza del resorte, | = | . | ||
Por el principio de D´Alembert , tenemos:
f(t)+ +, + = 0,
o
MDu(t)+ Bu(t)+ = f(t).
[pic 5]
La misma ecuación aplica cuando el roce del piso es del tipo viscoso representado por el siguiente sistema:
[pic 6]
Movimiento Rotacional
Al igual que en el movimiento de translación el movimiento rotacional hay tres elementos pasivos que cumplen ecuaciones similares a las del movimiento de translación. En sistemas de movimiento rotacional en vez de fuerza se habla de torque.
Torque de Inercia: El torque de inercia es igual al momento de inercia multiplicado por la aceleración angular (t).
= ⋅ (t)= | D Ω (t)= ⋅ | (t) |
Donde: Ω (t) indica velocidad angular, | (t) indica posición angular. |
Torque del Amortiguador: El torque del amortiguador es igual al coeficiente de amortiguación
rotacional multiplicado por la velocidad angular Ω (t)
. Ω (t)= .D (t)
Torque del Resorte: El torque del resorte es igual al desplazamiento angular (t) dividida por la elasticidad torsional del resorte .
- =
A continuación la representación de los tres elementos pasivos:[pic 7][pic 8]
[pic 9]
Similar a los sistemas de movimiento de translación en los sistemas de movimiento rotacional se definen dos tipos de fuentes o elementos activos que proporcionan la energía a los sistemas, fuentes de torque (t) y fuentes de velocidad angular Ω (t).
Para el siguiente sistema obtener ecuación de equilibrio.
[pic 10]
Se tiene un nodo mecánico, por lo tanto tenemos una ecuación de equilibrio y se asumirá que el sistema rotará siguiendo la dirección del torque aplicado T(t). Luego se obtiene la siguiente ecuación considerando la velocidad angular como variable a determinar:
T(t)= D Ω (t)+ . Ω (t)+
[pic 11]
Ejemplos
Se verán dos ejemplos adicionales aplicando el principio de D´Alembert para obtener las ecuaciones de equilibrio:
[pic 12]
Como primer paso se debe determinar cuántos nudos mecánicos tiene el sistema.
...