SISTEMAS DE ECUCACIONES LINEALES

Consideremos el siguiente sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas xi, i=1,…n tales que:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a11x1+a12x2+…a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…a2nxn=b2,⋮an1x1+an2x2+…annxn=bn,(2.6.1)

donde aij, bi son números reales.

Una solución del sistema, está compuesta de n-valores correspondientes a las variables x1, x2…xn de tal forma que se satisfagan las n-ecuaciones simultáneamente. Dependiendo de los valores de las constantes aij el sistema puede; no tener solución, tener solución única o tener una cantidad infinita de soluciones, para identificar el tipo de soluciones nos ayudaremos de determinantes.

Teorema 3.2: Un sistema de ecuaciones con coeficientes en los reales, cumple una de las siguientes afirmaciones

• Tiene solución única si y solo si Δ≠0.
• No tiene solución o tiene una cantidad infinita de soluciones si y solo si Δ=0.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA

(50/50 puntos)

Considerar el sistema de ecuaciones: ⎧⎩⎨⎪⎪−x+4y−3z=−35x−2y+z=68x+y−z=0 .

1.-   Indicar el tipo de solución de este sistema.

[pic 3]Tiene solución única. Tiene solución única. - Correcto[pic 4]No tiene solución o tiene infinidad de soluciones

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Acceder al foro de este curso y discutir lo que ocurre (con la solución) cuando el determinante principal de un sistema de ecuaciones es nulo, es decir, es cero.

Para analizar lo que representa geometricamente un sistema de ecuaciones, debemos separar por la dimensión del mismo, el caso más comun es el de 2 y 3dimensiones.

Dos dimensiones.

En los sistemas de 2 ecuaciones con dos incógnitas cada una de las ecuaciones representa una línea recta, y de acuerdo al tipo de solución que tenga podemos distinguir los siguientes casos

1. El sistema tiene solución única, entonces las rectas no son paralelas y se interceptan en un solo punto.
2. Si el sistema no tiene solución, entonces las rectas son paralelas.
3. Si el sistema tiene soluciones infinitas, decimos que las rectas coinciden o que esta una encima de la otra.

Figura 3.1.1: Tipos de solución gráficos en el plano

Tres dimensiones.

Para el caso de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incognitas, cada una de las ecuaciones representa un plano en el espacio, nuevamente de acuerdo al tipo de solución que se tenga podemos distinguir los siguientes casos;

1. Los tres planos se interceptan en un solo punto, entonces el sistema tiene solución única.
2. Los tres planos se interceptan en una misma recta, entonces cada punto sobre la recta es solución y el sistema tiene infinidad de soluciones.
3. Los tres planos coinciden, el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.
4. Dos de los planos coinciden y se interceptan con el tercero en una recta, entonces la recta es solución del sistema y tiene solución infinita.
5. Al menos dos de los planos son paralelos, entonces el sistema no tiene solución.
6. Dos de los planos coinciden en una recta L, el tercer plano es paralelo a L y no la contiene, entonces el sistema no tiene solución.

Figura 3.1.2: Tipos de solución gráficos en el espacio

Dentro del contexto de sistemas de ecuaciones se maneja la siguiente notación.

Es imposible que un sistema de ecuaciones homogéneo no tenga solución, pues xi=0 siempre es solución, por lo que si su determinante principal es distinto de cero, el sistema tendrá solución única y será xi=0, en caso contrario tendrá infinidad de soluciones.

Ingresar al foro del curso y discutir los casos mencionados en la interpretación geométrica de los sistemas y sus soluciones.

Existen diferentes formas de encontrar la solución a sistemas de ecuaciones lineales, aquí abordaremos solo tres que son las más comunes; eliminación Gaussiana, de Gauss-Jordan y Regla de Cramer, para esto definiremos antes otro tipo de matriz relacionada con el sistema.

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