Sucesiones y funciones divergentes

2. Sucesiones y funciones divergentes 20 Como ocurría con los límites en el infinito, la divergencia en −∞ se reduce a la divergencia en +∞mediante el apropiado cambio de función. Sea A⊂Runconjunto no minorado y f :A→R una función. Consideremos el conjunto no mayorado B ={−x : x∈A} y la función g:B→R definida por g(x)= f(−x) para todo x ∈ B. Entonces, cada tipo de divergencia de f en −∞ equivale al mismo tipo de divergencia de g en +∞. El resultado anterior puede expresarse de la siguiente forma, que resulta más intuitiva: f (x) →+∞ (x→−∞) ⇐⇒ f(−x)→+∞ (x→+∞) f (x) →−∞ (x→−∞) ⇐⇒ f(−x)→−∞ (x→+∞) | f (x)| → +∞ (x→−∞) ⇐⇒ |f(−x)|→+∞ (x→+∞) La divergencia en +∞, y por tanto también en −∞, puede reducirse a la divergencia en un punto de la recta real: Sea A⊂Runconjunto no mayorado y f :A→Runafunción. Consideremos el conjunto B ={1/x : x ∈A∩R+}, que verifica 0 ∈ B′, y sea g : B → R la función definida por g(x) = f(1/x) para todo x ∈ B. Entonces, cada tipo de divergencia de f en +∞ equivale al mismo tipo de divergencia de g en 0. De forma más intuitiva, pero sin olvidar que la inclusión B ⊂ R+ juega un papel esencial, podemos escribir f (x) →+∞ (x→+∞) ⇐⇒ f(1/x)→+∞ (x→0+) f (x) →−∞ (x→+∞) ⇐⇒ f(1/x)→−∞ (x→0+) | f (x)| → +∞ (x→+∞) ⇐⇒ |f(1/x)|→+∞ (x→0+) De cualquier forma que se exprese, queda claro que la divergencia de una función en +∞ o en −∞ puede verse como la divergencia en 0 de otra función. Esta idea puede usarse por ejemplo, para obtener caracterizaciones de la divergencia en +∞ o en −∞ mediante sucesiones monótonas, o sin usar sucesiones. Enunciamos una caracterización de este tipo que también puede probarse directamente: Sea A⊂Runconjuntonomayoradoy f :A→Runafunción.Lassiguientesafirmaciones son equivalentes: (i) f(x) →+∞ (x→+∞) (ii) Para toda sucesión creciente y no mayorada {xn} de puntos de A, se tiene que {f(xn} →+∞ (iii) ∀K ∈ R ∃M∈R : x∈A, x>M ⇒ f(x)>K En general, toda la discusión desarrollada en este tema adolece claramente de una ausencia de ejemplos ilustrativos de las diferentes situaciones que se han ido analizando. El próximo tema se dedica específicamente a rellenar esa laguna.

...