Sumas De Riemann

SUMAS DE RIEMANN

Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f  x=x

2,

x=0, x=2 y el eje x mediante el

cálculo del límite de las sumas de Riemann:

SOLUCION:

Primero dividimos [0,2] en n subintervalos de igual longitud:

xi=ai x=0i

2

n

=2

i

n

La enésima suma de Riemann es

∑i=1

n

f  xi

 x=∑i=1

n

f 2

i

n



2

n

=∑i=1

n

2

i

n



2



2

n

=∑i=1

n 8

n

3

i

2=

8

n

3∑i=1

n

i

2=

8

n

3

[

nn12 n1

6

]

el área de la región es el límite de las sumas de Riemann:

limn∞∑i=1

n

f  xi

 x=limn∞

[

4n12 n1

3 n

2

]=

8

3

Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f  x= x−1

22, x=−1, x=2 y el eje x

mediante la búsqueda del límite de las sumas de Riemann.

SOLUCION:

Se divide [-1,2]:

;

La enésima suma de Riemann es

∑i=1

n

f  xi

 x=∑i=1

n

f −13

i

n



3

n

=∑i=1

n

[−13

i

n

−1

2

2]

3

n

=

=

=

 x=

2−0

n

=

2

n

xi=ai x=−1

3i

n

 x=

2−−1

n

=

3

n

∑i=1

n

[

3i

n

−2

2

2]

3

n

=∑i=1

n



9i

2

n

2 −

12i

n

42

3

n

∑i=1

n

27 i

2

n

3−

36

n

2

i

18

n

=

27

n

3 ∑i=1

n

i

2−

36

n

2 ∑i=1

n

i

18

n ∑i=1

n

1

27

n

3

[

nn12 n1

6

]−

36

n

2

[

nn1

2

]

18

n

n=9n1

n1

2

n

2−18 n1

n

∑ 18 i=1

n

f  xi

 xel área de la suma de Riemann:

limn∞∑i=1

n

f  xi

 x=limn∞

[9n1

2 n1

2

n

2−18 n1

n

18] = 9 -18 + 18 =9

Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f  x=2 x2

3

, x=−2, x=0 y el eje x

mediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann.

SOLUCION

Se divide [-2,0]:  x=

2

n

; xi=−2

2i

n

la énesima suma de Riemann es:

∑i=1

n

f  xi

 x=∑i=1

n

2−2

2i

n

2

3



2

n

=∑i=1

n 32i

3

...