Sumas de riemann
Enviado por Jose Felix • 7 de Octubre de 2015 • Documentos de Investigación • 493 Palabras (2 Páginas) • 584 Visitas
1.3 Sumas de Riemann.
En una gran cantidad de problemas prácticos, el poder hallar la medida de una determinada área significa poder evaluar una acumulación que resulta ser de interés.
En Física, por ejemplo, interesa poder hallar el trabajo, la energía o la carga eléctrica total acumulada, la distancia recorrida, etc.
En Matemáticas el problema de hallar el área bajo la curva fue uno de los problemas cuya solución dio origen, e impulsó, el descubrimiento o invención del Cálculo. Se dice que Arquímedes fue el primero en calcular con precisión el área bajo la parábola y otras curvas.[pic 1]
En la figura anterior se observa la base de todos los rectángulos tienen longitudes iguales.
En este tema, se aborda un concepto que indica que no es necesario tomar subintervalos (bases) de igual longitud.[pic 2]
Definición:
Sea [pic 3] definida en un intervalo cerrado [a, b] y sea [pic 4] una partición de [a, b] dada por
[pic 5]
donde [pic 6] es la longitud del i-ésimo subintervalo. Si [pic 7] es cualquier punto del i-ésimo subintervalo, la suma
[pic 8], [pic 9]
Es la SUMA DE RIEMANN de [pic 10] asociada a la partición [pic 11].
La longitud del subintervalo más grande de una partición [pic 12] se llama norma de la partición y se denota por [pic 13]
La partición es regular si todos los subintervalos son de la misma longitud, esto se denota por
[pic 14]
También
[pic 15]
El número de subintervalos en una partición tiende al infinito si la norma de la partición tiende a cero. Esto es,
[pic 16] implica que [pic 17].
LA SUMA DE RIEMAN se utiliza para hallar el área aproximada bajo una curva utilizando n áreas rectangulares de igual ancho, siempre y cuando la grafica de la función sea positiva. En caso que sea positiva y negativa, no necesariamente representara el área de dicha región.
RECTANGULOS INSCRITOS | RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS | ALTURA PUNTO MEDIO |
[pic 18] | [pic 19] | [pic 20] |
El área se puede aproximar utilizando:
[pic 21] = [pic 22]
Se utilizan las propiedades:[pic 23]
1. [pic 24]
2. [pic 25]
3. [pic 26]
Ejemplos:
Calcular la suma de Riemann para las funciones dadas en intervalo indicado, para la partición dada.
1) | [pic 27] | [pic 28] | Intervalos determinados por [pic 29] Y [pic 30] - 8.72 |
2) | [pic 31] | [pic 32] | [pic 33] Y [pic 34] -8.85 |
3) | [pic 35] | [pic 36] | Intervalos determinados por [pic 37] Y [pic 38] - 8.72 |
4) | [pic 39] | [pic 40] | [pic 41] Y [pic 42] -8.85 |
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