Sumas De Riemann

Sumas De Riemann

En las matemáticas, una suma de Riemann es una suma de un gran número de pequeñas particiones de una región. Se puede utilizar para definir la integración de la operación. El método fue nombrado por el matemático alemán Bernhard Riemann.

Vamos f : D → R una función definida en un subconjunto, D , de la recta real, R . Deja que yo = [ a , b ] es un intervalo cerrado contenido en D , y dejar

ser una partición de I , donde

La suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

La elección de x_i ^ *en el intervalo [X_ {i-1}, x_i]es arbitraria.

Ejemplo: opciones específicas de x_i ^ *darnos diferentes tipos de sumas de Riemann:

Si x_i ^ * = x_ {i-1}para todos los i , entonces S se llama suma de Riemann izquierda . Si x_i ^ * = x_ipara todos los i , entonces S se llama suma de Riemann derecha . Si x_i ^ * = \ tfrac {1} {2} (x_i + x_ {i-1})para todos los i , entonces S se llama una suma de Riemann medio . El promedio de izquierda y derecha de la suma de Riemann es la suma trapezoidal. Si se da que

donde v_ies el supremo de f sobre [X_ {i-1}, x_i], entonces S se define como una suma de Riemann superior . Del mismo modo, si v_i es el ínfimo de f más [X_ {i-1}, x_i], entonces S es una menor suma de Riemann .

Cualquier suma de Riemann en una partición dada (es decir, para cualquier elección de x_i ^ *entre x_ {i-1}y x_i) está contenida entre la parte inferior y las sumas de Riemann superiores. Una función se define para ser integrable Riemann si la inferior y el superior sumas de Riemann se vuelven cada vez más cerca como la partición consigue más fino y más fino. Este hecho también se puede utilizar para la integración numérica.

Definición de Integral Definida

La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está integrada con respecto a ciertos límites. La notación convencional de la integral definida es la siguiente,

Encima se muestra la integración definida de algún f(x) dentro del intervalo [a, b]. Es importante que la función dada, la cual será integrada para algún intervalo sea continua para el intervalo en el cual se va a integrar. La integral de Riemann es un caso especial de la integral definida en la cual x es esencialmente un número real.

Una integral definida se representa más comúnmente como,

Aquí, la función dada se divide en n intervalos de igual longitud n

Yi es un punto arbitrario que se selecciona de cada intervalo.

Para el ejemplo ilustrado arriba, la interpretación analítica resulta ser las líneas definidas por las expresiones, y = 0, y = f(x), x = b y x = a, como se muestra en el gráfico anterior. La suma del área sombreada es igual a nuestra expresión f(x) dx.

Aquí, el número debajo del signo de la integración que es a, es el límite inferior de la integración definida, mientras que el número que está por encima del signo de la integración que es b, es el límite superior de integración. En conjunto se denominan límites de integración. Sin embargo, es esencial que el límite inferior sea menor que el límite superior.

Una interesante interpretación de la integración definida es el Teorema del Cambio Total. Para alguna función f(x), f’(x) da la razón de variación de la función dada, entonces

Da la variación neta de la función dada para algún intervalo [p, q]. En términos simples, se puede afirmar que la integración definida de la razón de variación de una función produce la variación total de los valores de la función. En la expresión dada anteriormente, está claro que la diferencia f(b) - f(a) da la variación total de la función dada f(x) en sus límites de integración.

Teorema De Existencia

En matemáticas, un teorema de existencia es un teorema con un enunciado que comienza ‘existe(n)…’, o más generalmente ‘para todo x, y, …existe(n) …’. Esto es, en términos más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguaje matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es una continua, o cualquier teorema escrito en la notación O.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales•

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Función Primitiva

Para algunas funciones de la forma f(x): X → Y, la primitiva se define como cualquier otra función la cual cuando es diferenciada nos da de nuevo la función original f(x).

Esto significa que f(x) es la derivada de su función primitiva o que la función primitiva es la integral de la presente función f(x).

Por tanto, podemos decir que si F(x) es la función primitiva de f(x) entonces F(x) + c es también su función primitiva para los valores distintos de c sin ningún pre-requisito para obtener a c.

Aquí F(x) + c representa a la familia de funciones primitivas. Al asignar distintos valores de c, obtenemos diferentes miembros de esta familia.

Geométricamente, estos miembros se pueden obtener al cambiar cualquiera de las curvas paralelas a ellos.

Existen muchos sinónimos para las funciones primitivas tales como primitiva integral, antiderivada, etc.

Matemáticamente, para una función valorada real f(x), la cual, para un intervalo abierto (a, b), es de naturaleza continua, tenemos una función primitiva F(x) la cual es también una función valorada real derivable para el mismo intervalo abierto (a, b) y es continua para un intervalo cerrado [a, b].

Esto puede ser representado como,

La función primitiva de cualquier función puede ser encontrada a través del proceso de integración o antidiferenciación.

Como se mencionó anteriormente no existe solo una función primitiva sino que existe toda una familia de tales funciones.

Ahora bien, G(x) es un miembro de la familia de la función primitiva F(x) si esta satisface la condición,

Aquí c es la constante arbitraria de integración.

La función primitiva a veces se denomina también como integral indefinida para la función f(x).

Sabemos que es posible calcular el valor de una integral definida para la función f(x) al calcular el valor de la función primitiva en el límite superior e inferior de la función y encontrando la diferencia entre los dos.

Por tanto se puede establecer que,

Esto significa que nunca tenemos una sola función primitiva F(x) para la función dada f(x).

También que para la función dada f(x) de grado n, la función primitiva F(x) será de un grado más alto que el de la función dada.

Un punto digno de mención es que a través de la declaración anterior podemos relacionar las integrales definidas con las integrales indefinidas; esto es parte del teorema fundamental del cálculo.

Sin embargo, no es esencial que exista una función primitiva para cada función.

Para que una función primitiva exista, es necesario que la función dada sea continua en un intervalo abierto arbitrario.

No todas, pero una entre las muchas funciones primitivas se puede obtener mediante el cálculo de la integral definida de la función variando el límite superior de integración.

Si intentamos variar el límite inferior también, podemos obtener otras funciones primitivas, sin embargo no es posible calcularlas todas de esta manera.

La función primitiva se puede conseguir mediante el cálculo de la integración de la función dada, por lo tanto, la función primitiva de 5y6 sería

5y6

5[y6+1/ 6+1]

5/7 y7

Teorema Fundamental Del Cálculo

El teorema fundamental del cálculo es un teorema que une el concepto de la derivada de una función con el concepto de la integral.

La primera parte del teorema, a veces llamado el primer teorema fundamental del cálculo, que muestra una integración indefinida puede ser revertida por una diferenciación. Esta parte del teorema también es importante, ya que garantiza la existencia de primitivas para funciones continuas.

La segunda parte, a veces llamado el segundo teorema fundamental del cálculo, le permite a uno calcular la integral definida de una función mediante el uso de cualquiera de sus infinitas primitivas. Esta parte del teorema tiene aplicaciones prácticas inestimables, ya que simplifica notablemente el cálculo de integrales definidas.

Además de su físicamente intuitiva representación, también hay una geométricamente intuitiva representación del teorema.

Para una función continua y = f (x) cuya gráfica se representará gráficamente como una curva, cada valor

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