Superficies

SUPERFICIES

De una manera mas general, veremos que, si existe una representación analítica de una figura geométrica considerada por nosotros como una superficie, tal representación consistirá en una única ecuación rectangular de la forma: F(x,y,z) = 0. Por ejemplo, se puede demostrar fácilmente, por medio de la formula de la distancia entre dos puntos que la superficie esférica de radio r y con centro en el origen se representa analíticamente, por la ecuación:

x^2+ y^2+ z^(2 )=r^2

De acuerdo con lo anterior, vamos a establecer la siguiente:

Definición . Se llama superficie al conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen una sola ecuación de la forma:

F(x,y,z)=0

Discusión de la ecuación de una superficie.

En la construcción de curvas planas, es particularmente ventajoso discutir la ecuación de una curva antes de trazar su grafica correspondiente. Análogamente, es ventajoso discutir la ecuación de una superficie antes de construirla.

Limitaremos nuestra discusión a los cinco pasos siguientes:

1. Intercepciones con los ejes coordenados.

2. Trazas sobre los planos coordenados.

3. Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen.

4. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados.

5. Extensión de la superficie.

Los tres siguientes teoremas constituyen un resumen de estos resultados

.

TEOREMA1. Si la ecuación de una superficie no se altera cuando se cambia el signo de una de las variables, la superficie es simétrica con respecto a1 plano coordenado a partir del cual se mide esa variable, y recíprocamente.

TEOREMA2. Si la ecuación de una superficie no se altera cuando se les cambia el signo a dos de sus variables, la superficie es simétrica con respecto al que coordenado a lo largo del cual se mide la variable cuyo signo no se cambia, y recíprocamente.

TEOREMA3. Si la ecuación de una superficie no se altera cuando sus tres variables cambian de signo, la superficie es simétrica con respecto al origen, y recíprocamente. Supongamos que la ecuación de una superficie es:

F(x,y,z)=0……………… (1)

Se puede obtener una buena idea de la forma de esta superficie estudiando la naturaleza de sus secciones planas. Tales secciones pueden determinarse convenientemente cortando la superficie por una serie de planos paralelos a los planos coordenados. Por ejemplo, los planos paralelos al plano XY pertenecen a la familia cuya ecuación es z = k, en donde k es una constante arbitraria o parámetro. Entonces, de la ecuación (1), tenemos que:

F(x,y,z)=0, z = k……………….. (2)

Son las ecuaciones de la curva de intersección del plano con la superficie, correspondiendo a cada valor asignado a k una curva determinada. Y como la curva (2) está en el plano z = k, puede determinarse su naturaleza por los métodos de la Geometría analítica plana.

El concepto de la extensión de una superficie es análogo al de la extensión de una curva plana.

Si se da la ecuación de una superficie en la forma (1), se puede ver de despejar una de las variables en función de las otras dos.

Si, por ejemplo, despejamos z en función de x y y podemos escribir la ecuación en la forma:

z = f (x, y)………………………… (3)

Una ecuación en la forma explícita (3) nos permite obtener los intervalos de variación de los valores reales que las variables pueden tomar. Esta información es útil para determinar la localización general de la superficie en el espacio coordenado; también indica si la superficie es cerrada o indefinida en extensión.

Construcción de una superficie. En este artículo vamos a ilustrar la discusión de la ecuación de una superficie y la construcción de la misma mediante varios ejemplos.

Discutir la superficie cuya ecuación es:

x2 + y2 – 4z = 0……………(1)

Construir la superficie:

Intercepciones. Las únicas intercepciones con los ejes coordenados están dadas por el origen.

2) Trazas. La traza sobre el plano XY es un solo punto, el origen. La traza sobre el plano XZ es la parábola x2 = 4z, y = 0. La traza sobre el plano YZ es la parábola y2 = 4z, x = 0.

3) Simetría. La superficie es simétrica con respecto al plano YZ, al plano XZ y al eje Z.

4) Secciones. Los planos z = k cortan a la superficie en las curvas:

x2 + y2 = 4z, z = k

Que constituye una familia de circunferencias, para todos los valores de k > 0.

Los planos y = k cortan a la superficie (1) en las parábolas

x2 = 4 (z- k^2/4) y = k

Y los planos x = k cortan a la superficie (1) en las parábolas

y2 = 4 (z- k^2/4) x = k

5) Extensión. La ecuación (1) muestra que las variables x y y pueden

tomar todos los valores reales pero la variable z está restringida a valores positivos.

Por tanto, ninguna parte de la superficie aparece abajo del plano XY.

Sino que se extiende indefinidamente hacia arriba del plano XY.

En la siguiente figura se ha trazado una parte de la superficie. Todas las secciones paralelas al plano XY son circunferencias cuyo radio crece a medida que se alejan del plano XY.

La parte que está en el primer octante aparece en línea gruesa.

Esta superficie se llama paraboloide de revolución.

Clasificación de superficies:

La superficie esférica se define como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo. La distancia constante se llama radio y el punto fijo centro.

Ecuación de la superficie esférica. En nuestro estudio analítico de la esfera, asolo nos interesa su superficie. Por esto, algunas veces, usaremos como sinónimos los términos esfera y superficie esférica.

TEOREMA 4. La ecuación de la superficie esférica cuyo centro es el punto (h, k, l) y cuyo centro es la constante r es:

(x- h )2 + (y - k)2 + (z - l)2 = r2………………(1)

La ecuación (1) del teorema 4 se conoce como forma ordinaria de la ecuación de la esfera. Si desarrollamos esta ecuaci6h y ordenamos los términos, obtenemos una ecuación de la forma:

x2 + y2 + z2 + Gx + Hy + Iz + K = 0………………..……..(2)

La ecuación (2) es la llamada formula general de la ecuación de la esfera. Contiene cuatro constantes arbitrarias independientes; por tanto, una superficie esférica queda perfectamente determinada por cuatro condiciones independientes. Así, por ejemplo, cuatro puntos no coplanares determinan una superficie esférica.

Coordenadas esféricas. En este articulo vamos a consideremos un nuevo sistema de coordenadas en el espacio que está estrechamente asociado con la superficie esférica.

Sea P(x, y, z) (fig. 176) un punto cualquiera de una superficie esférica de centro el origen y radio r. La ecuación de la superficie es, evidentemente,

x2 + y2+ z2 = r2…………….. (1)

La porción de la esfera comprendida en el primer octante aparece en la figura.

Por el punto P y el eje Z pasa un plano que corta al plano XY en la recta I. Denotemos por θ el ángulo formado por ι y la parte positiva del eje X, y por ø el formado por el radio OP y la

parte positiva del eje Z. Designemos por P’, A, B y C, respectivamente, las proyecciones del punto P sobre el plano XY y sobre los ejes X,Y y Z. Sea IOP'I = ICPI = s

Del triangulo rectángulo OPC tenemos:

s = r senø

De los triángulos rectángulos OAP', OBP’ y OP’P, tenemos, respectivamente:

X = s cosθ = r senø cosθ

Y = s senθ = senø senθ

Z = P’P = r sen (90° - ø) = cos ø

Evidentemente de las relaciones:

X = r senø cosθ, y= r senø senθ, z = r cosø

Es posible localizar cualquier punto P sobre la superficie esférica (1) cuando se conocen los valores de r, θ, y ø. Por esto estas cantidades se llaman coordenadas esféricas del punto P y se escriben así: (r, ø y θ). De una manera más general, si dos rectas cualesquiera, intersectantes y perpendiculares en el espacio, tales como los ejes X y Z, y su interacción 0, se toman como elementos de referencia, entonces con las coordenadas esféricas (r, ø y θ) se puede localizar cualquier

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