Tansferencia de calor

La transferencia de calor es la energía en tránsito debido a una diferencia de temperaturas en un cuerpo o entre cuerpos diferentes. Siempre que exista temperatura, la energía se transfiere de la región de mayor temperatura hacia la de menor temperatura (gradiente descendente).

Los fenómenos de transferencia de calor tienen un papel importante en muchos de los problemas presentados relacionados con industria y medio ambiente. Estos problemas incluyen procesos de conducción, convección y radiación.

Es conocido que en un cuerpo el calor fluye en dirección en que disminuye la temperatura. Experimentos físicos indican que la rapidez con que se realiza ese flujo es proporcional al gradiente de temperatura. Esto quiere decir que la velocidad (v) del flujo de calor en un cuerpo es de forma:

v=-kgrad u

Donde u(x,y,z,t) es la temperatura, t corresponde al tiempo y k se denomina a la conductividad térmica del cuerpo, en circunstancias físicas ordinarias k es constante. Usando esta información es posible establecer el modelo matemático par el flujo de calor, la llamada ecuación de calor.

Considerando una región T de un cuerpo, y sea S su superficie de frontera, entonces la cantidad de calor que sale de T por unidad de tiempo corresponde a:

∬_S▒〖v∙n dA〗

Donde v•n es la componente de velocidad en dirección del vector unitario normal exterior n de S. Al relacionar la ecuación del flujo de calor con el teorema de divergencia, se obtiene:

∬_S▒〖v∙n dA〗=-k∭_T▒〖div(grad u) dx dy dz=-k∭_T▒〖∇^2 u dx dy dz〗〗

Donde ∇2u es el laplaciano de u. Por otra parte, la cantidad total de calor H en T es:

H=∭_T▒〖σρu dx dy dz〗

Donde la constante σ es el calor específico del material de cuerpo y ρ es la densidad del material. Por lo tanto, la rapidez con que disminuye H es:

-∂H/∂t=-∭_T▒〖σρ ∂u/∂t dx dy dz〗

y debe ser igual a la cantidad anterior del calor que sale, así, por la ecuación que relaciona el flujo de calor con el teorema de divergencia se tiene:

-∭_T▒〖σρ ∂u/∂t dx dy dz〗=-k∭_T▒〖∇^2 u dx dy dz〗

-∭_T▒〖(σρ ∂u/∂t-k∇^2 u) dx dy dz〗=0

Dado que todo esto es válido para cualquier región de T del cuerpo, el integrando (si es contino) debe ser cero en todas partes, es decir,

∂u/∂t=c^2 ∇^2 u ; c^2=k/σρ

Donde c2 refiere a la difusividad térmica del material. Esta ecuación parcial corresponde a la ecuación de calor. Si el flujo de calor no depende del tiempo, se denomina flujo estacionario, y la ecuación del calor se reduce a la ecuación de Laplace.

ECUACIÓN DE CALOR BIDIMENSIONAL

La ecuación bidimensional (dos dimensiones) del calor es:

∂u/∂t=c^2 ∇^2 u=c^2 ((∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 ))

En caso de que el flujo sea estacionario la ecuación se reduce a:

∇^2 u=(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )=0

Ecuación 1

Un problema de calor bidimensional consiste en la ecuación antes presentada en alguna región R del plano xy y con una condición en la frontera dada sobre la curva frontera de R. A éste se le denomina problema con valor en la frontera.

PROBLEMAS ESTACIONARIOS

Rectángulo Infinito, temperatura estacionaria

En vez de tomar el problema de Fourier en la forme que el adoptó, se toma el sólido como delimitado por los planos x=0 y x= l, los cuales son mantenidos a temperatura cero, y el plano y=0, que es mantenido a la temperatura v=f(x). Se asume que la función f(x) es contenida y satisface las condiciones de Dirichlet en (0,l).

Es así que la ecuación para la temperatura queda de la siguiente manera:

(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )=0, 0<x<l,y>0

Ecuación 2

v=0,cuando x=0 y x=l

v=f(x),cuando y=0,0<x<l

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