Teorema De Wilson

Teorema de Wilson

En matemáticas, el teorema de Wilson es un teorema clásico relacionado con la divisibilidad. Se enuncia de la siguiente manera:

Si p es un número primo, entonces (p − 1)!+1 ≡ 0 (mod p)

John Wilson

El recíproco también es cierto, por lo que puede afirmarse que un número n>1 es primo si y sólo si (n− 1)! ≡ − 1 (mod n). Sin embargo, sólo la implicación de arriba es conocida como teorema de Wilson (o Congruencia de Wilson).

Contenido

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• 1 Historia

• 2 Demostración

o 2.1 Usando teoría de grupos

o 2.2 Usando polinomios

• 3 Inverso

• 4 Test de primalidad

• 5 Generalización

• 6 Véase también

• 7 Referencias

[editar]Historia

Fue atribuido a John Wilson por Edward Waring, quien en 1770 realizó un comentario acerca de que Wilson había dejado anotado el resultado. No hay evidencia de que Wilson hubiese hallado la demostración, y ciertamente Waring no la halló. Fue Lagrange quien, en 1771 dio la primera demostración. Con toda propiedad, el teorema debe ser atribuido a Abu 'Ali al-Hasan ibn al-Haytham, llamado en Occidente Alhazen, quien lo formuló a comienzos del siglo XI.

[editar]Demostración

[editar]Usando teoría de grupos

Esta demostración usa el hecho de que si p es un número primo, entonces el conjunto de números G = (Z/pZ)× = {1, 2, ... p − 1} forma un grupo bajo la multiplicación. Esto significa que para cada elemento a de G, hay un único inverso multiplicativo b en G tal que ab ≡ 1 (mod p). Si a ≡ b (mod p), entonces a2 ≡ 1 (mod p), que se puedefactorizar en a2 − 1 = (a + 1)(a − 1) ≡ 0 (mod p), y puesto que p es primo, entonces a ≡ 1 o −1 (mod p), por ejemplo a = 1 o a = p − 1.

En otras palabras, 1 y p − 1 son cada uno su propio inverso, pero para cualquier otro elemento de G hay un inverso, también en G, así que si tomamos todos los elementos de G por parejas y los multiplicamos todos ellos juntos, el producto será igual a −1 (módulo p). Por ejemplo, si p = 11, tenemos que:

Las propiedades conmutativas y asociativas son usadas en el procedimiento de arriba. Todos los elementos en el producto anterior serán de la forma g g −1 ≡ 1 (mod p) excepto 1 (p − 1), que están al principio del producto.

Si p = 2, el resultado es trivial e inmediato.

Para demostrar el inverso del teorema (ver siguiente sección), supóngase que la congruencia se cumple para un número compuesto n, nótese entonces que n tiene undivisor propio d con 1 < d < n. Claramente, d divide a (n − 1)! pero por la congruencia, d también divide a (n − 1)! + 1, así que d divide a 1, con lo que se llega a una contradicción.

[editar]Usando polinomios

Sea p un número primo. Consideremos el polinomio

Recordemos que si f(x) es un polinomio no nulo de grado d sobre un cuerpo F, entonces f(x) tiene un máximo de d raíces en F, y recordemos que el conjunto de todos los restos módulo un primo, con las operaciones de suma y multiplicación, es un cuerpo. Ahora, siendo g(x)

Puesto que los coeficientes de mayor orden se cancelan, f(x) es un polinomio de grado p − 2 como mucho. Por tanto, si tomamos restos módulo p, f(x) tendrá a lo sumo p− 2 raíces módulo p. Sin embargo, a la vista de la definición de f(x), del pequeño teorema de Fermat se sigue que cada elemento 1, 2, ..., p − 1 es una raíz de f(x) (por lo que, a fortiori, es una raíz de f(x) módulo p). Esto es imposible a menos que f(x) sea idénticamente cero módulo p, esto es, a menos que cada coeficiente de f(x) sea divisible por p.

Dado que el término constante de f(x) es justamente (p − 1)! + 1,

[editar]Inverso

El inverso del teorema de Wilson dice que

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