Teorema Del Caos

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Introducción.

Sea la ecuación dada por:

(1)

si toma valores reales en el intervalo abierto (0,1), puede verse que tomará valores en ese mismo intervalo.

Si los valores de son reingresados como nuevos valores de , podemos escribir la siguiente expresión algebraica que arroja valores reales en (0,1).

(2)

Si cada valor de la variable es reingresado para calcular uno nuevo, esta expresión colapsa o converge a cero.

A esta última, se le puede agregar una constante multiplicativa entera y positiva de la siguiente forma:

(3)

Haciendo experimentos numéricos se puede ver que para valores de inferiores a cuatro, la expresión (3) colapsa a cero o queda repitiendo reales en el intervalo (0,1). En cambio, para valores de la constante superiores a cuatro, la expresión diverge, o sea, arroja valores reales fuera de intervalo cada vez mayores en valor absoluto.

Para , queda arrojando resultados reales aleatorios en el intervalo (0,1), por lo que se dice que ha entrado en caos matemático.

En este caso, la expresión (3) queda:

(4)

El objetivo de este trabajo es demostrar que la expresión algebraica dada por (4), repite valores.

Como se observa, la expresión en estudio colapsa si se ingresa cero o la unidad como valor inicial. Podemos extender el intervalo de valores reales al intervalo cerrado [0,1] sin que converja a cero de la siguiente manera

(5)

donde es un real mayor que cero y menor que la unidad, tan pequeño como se quiera, de tal modo que, cuando vale cero , evita el colapso. Por otro lado, en la expresión (4), cuando toma su máximo valor, siempre inferior a la unidad, es tal que suma lo necesario para que el resultado llegue a la unidad. O sea que es la diferencia entre la unidad y el máximo valor que puede tomar la variable de la expresión (4).

Consideremos un círculo de radio unitario y utilicemos coordenadas polares para ubicar los puntos pertenecientes a él.

Llamemos a la coordenada radial y a la angular.

Sea , una transformada continua que toma puntos pertenecientes al círculo y devuelve puntos dentro del mismo, de la siguiente forma.

(I)

con como versor radial y como versor perpendicular al radial.

Como la componente radial toma valores en el intervalo [0,1]; podemos adoptar para la expresión similar a la (5) de la forma:

Como la componente angular toma valores en el intervalo [ 0, ]; si empleamos como modelo la expresión (4), habrá que multiplicarla por . Por otro lado, como la variable debe estar comprendida en (0,1), habrá que normalizar el ángulo dividiéndolo por .

De esta manera, la expresión quedaría:

Simplificando y llevando la expresión a una forma similar a la (5) queda:

donde evita el colapso cuando el ángulo vale cero, y suma lo necesario para llegar al giro completo cuando la componente angular toma su máximo valor menor a .

Finalmente podemos formular:

(6)

Propiedades de esta transformada:

Puede verse que esta transformada es continua, por ser suma de funciones continuas, y entrega valores al mismo conjunto del que los toma.

Si para cada punto del círculo vamos calculando la transformada, estaremos moviendo cada uno de ellos dentro

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