Teorema Del Envolvente

Teorema de la Envolvente

Introducción.

Para adquirir una idea intuitiva acerca de la utilidad del Teorema de la Envolvente, vamos a comenzar viendo la aplicación del Teorema al ya conocido problema de la maximización de la utilidad del consumidor.

Así, suponemos que un individuo tiene una función de utilidad U(x,y) y enfrenta Px, Py e I (precio del bien x, precio del bien e ingreso, respectivamente).

Entonces, planteamos y resolvemos el problema, tal cual lo hacemos usualmente:

Max U(x,y) sa Px.x + Py.y = I

x*(Px, Py, I)

y*(Px, Py, I)

V(Px, Py, I) = U(x*(Px, Py, I), y*(Px, Py, I))

Presentación del teorema en forma más general.

El citado teorema debe su popularidad a que, justamente, puede aplicarse a una gran variedad de problemas (además del visto en el punto anterior). Es por esto, que ahora lo plantearemos de forma más general, para luego sí poder utilizarlo en diferentes situaciones.

El problema de optimización ahora será:

Max z= f (x, y; ) sa G (x ,y; ) = 0

Para aclarar este planteo, procederemos a definir cada una de las variables utilizadas y entre paréntesis diremos a que corresponde en el ejercicio de la maximización de la utilidad del consumidor visto en la introducción de este apunte. Así:

z: es la variable que maximizamos (nivel de utilidad)

f: es la función objetivo ( U(x,y) )

x e y: son las variables de elección (cantidad de bienes x e y consumidos)

G: es la restricción tal cual la reexpresamos para colocarla en el lagrangiano

: es una variable exógena (podría ser Px, Py o I)

Es decir, que tenemos nuevamente una función objetivo la cual maximizamos. En esta nueva formulación, la función objetivo, además de depender de las variables de elección, también depende de una variable exógena  (recordemos que para algunos problemas, como el visto en la introducción, podría z no depender de , pero la colocamos porque estamos planteando el problema de una forma bien general).

Ahora, la restricción la hemos reexpresado como una función G (x ,y; ) = 0. Es decir, que debemos reexpresar la restricción tal cual lo hacemos cuando la colocamos en el lagrangiano.

Ahora, que hemos planteado el problema de forma más general podemos decir, que es lo que asegura el Teorema de la Envolvente:

En conclusión, lo que dice el Teorema de la Envolvente, es que si, en un problema de optimización, deseamos saber como reaccionará el valor de la función objetivo indirecta ante un cambio infinitesimal de una variable exógena, simplemente debemos derivar el lagrangiano respecto de dicha variable exógena.

Demostración.

Una vez comprendido cual es la utilidad del Teorema de la Envolvente, su demostración no es en absoluto, complicada.

Primeramente vamos a hallar tres relaciones que se cumplen siempre en un problema de optimización y que nos servirán en la última parte de la demostración.

Así, en el problema de maximización:

Max z= f (x, y; ) sa G (x ,y; ) = 0

Planteamos el lagrangiano,

L= f (x, y; ) + .( G (x ,y; ) )

CPO:

Ahora, obtenemos la tercer relación que luego utilizaremos.

Tomamos la restricción G (x ,y; ) = 0

Y la diferenciamos totalmente

Reexpresamos

Ahora, ya es directa la demostración:

Así, siendo

Y como

Entonces:

Conclusión.

El Teorema de la Envolvente nos servirá para determinar como reacciona la función objetivo indirecta ante un cambio infinitesimal de una de las variables exógenas en un problema de optimización.

Es decir, que debemos tener en cuenta que si en un problema de optimización, se produce un cambio discreto de la variable exógena, la fórmula obtenida no puede ser aplicada en forma directa aunque si sabremos que cuanto menor sea el cambio en la variable exógena, mayor la aplicabilidad de la conclusión del teorema, y llegado el extremo de un cambio infinitesimal, podremos aplicarla perfectamente.

Efecto Sustitución y Efecto Renta

En economía no solo es relevante saber cual será la conducta de los agentes en determinadas circunstancias, sino también saber como variará dicha conducta ante variaciones del entorno. ¿Cuál será la cantidad demandada de un determinado bien ante variaciones de su precio? ¿Qué efecto tendrá una variación del salario sobre la cantidad de empleo ofrecida? ¿Cuanto cambiara mi ahorro si cambia la tasa de interés?

Para llegar a una respuesta es necesario dividir estos cambios en dos efectos que analizaremos a continuación: el efecto sustitución y el efecto renta.

Cuando varía el precio de un bien se pueden observar estos dos efectos: varía tanto la tasa a la que puede intercambiarse ("sustituir") un bien por otro como el poder adquisitivo total de nuestra renta. La variación de la cantidad

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