Teorema Pi

El Teorema Pi y la modelaci´on Luis Quintanar Medina Instituto Superior de Matem´atica (INSUMA) Aguascalientes, Ags.

Magnitudes, unidades y dimensiones

Para describir los fen´omenos que nos rodean es necesario determinar primero las magnitudes que pueden ser u´tiles, aqu´ellas que tienen una in- fluencia primordial en su desarrollo; despu´es nos interesa conocer relaciones entre ellas o leyes. Tales relaciones pueden obtenerse directamente de forma experimental o partiendo de alguna teor´ıa conocida; otra forma consiste en establecer una relaci´on tentativa (que despu´es habr´a de comprobarse o desecharse con ayuda del experimento) usando el llamado Teorema Pi de Buckingham, que es el caso que nos interesa; este t´opico pertenece al an´alisis dimensional, con el cual se logra completar un an´alisis matem´atico de los problemas que surgen en la realidad y reducir costos de experimentaci´on; esta t´ecnica es muy u´til en problemas que surgen en mec´anica, en particular la de fluidos. Las magnitudes como la velocidad, densidad, etc. se expresan en ciertas unidades, como metros por segundo m s , kilogramo por metro cu´bico kg m3 , etc. Por otra parte, en mec´anica tenemos tres dimensiones importantes: lon- gitud (L), masa (M) y tiempo (T), que se expresan en unidades como metro, kilogramo y segundo, respectivamente; una magnitud f´ısica como la veloci- dad se puede expresar en metros por segundo (m s ) y en dimensiones como L T o L1T −1. Representaremos las dimensiones de una magnitud con par´entesis cuadra- dos [ ], por ejemplo, si usamos la letra v para referirnos a la magnitud veloci- dad, [v]=L1T −1; en general, si tenemos n magnitudes qi, se pueden escribir sus dimensiones como [qi]=Da1i 1 Da2i 2 ...,Dami m , i = 1,2,...,n., en donde los

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Dj, j = 1,2,...,m representan alguna dimensi´on, como L, M o T; en esta notaci´on [v] = L1T −1M0. Si [qi] = 1 se dice que qi es adimensional; esto supone que los aij = 0 ∀i,j.

Independencia de las unidades

Una ley ser´a una relaci´on entre las magnitudes que describen un fen´omeno; por ejemplo, la ley entre las magnitudes velocidad (v), aceleraci´on (para el caso de aceleraci´on, a, constante) y tiempo (t) del movimiento rectil´ıneo de un objeto considerado como un punto es

v = v0 + at,

en donde v0 representa la velocidad inicial. La expresi´on anterior se puede escribir como

v − v0 − at = 0

o, en forma m´as general, como

f(v,v0,a,t) = 0.

Consideremos lo siguiente: si sabemos que se cumple la ley v = v0 + at para cuando la velocidad se est´a expresando en m s , la aceleraci´on en m s2 y el tiempo en segundos, ¿se cumplir´a la misma ley entre estas magnitudes si la velocidad, la aceleraci´on y el tiempo se expresaran en otras unidades, digamos, respectivamente, cm s , cm s2 , s? Si es as´ı, se dice que la ley es libre de unidades (unit free): La ley f´ısica f(q1,q2,...,qn) es libre de unidades si para todos los reales λ1, λ2, ..., λm con λi > 0, i = 1,2,...,m, tenemos f(q1,q2,...,qn) = 0 ⇔ f(q1,q2, ...,qn) = 0 con qj = λbq 1 λb2 2 ...,λbm m qj.

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El Teorema Pi

El teorema Pi dice lo siguiente: 1. Sea la ley f´ısica f(q1,q2,...,qn) = 0, libre de unidades, en donde q1, q2, ..., qn son magnitudes dimensionales. 2. Sea L1,L2,...,Lm, m < n, dimensiones b´asicas y

[qi] = La1i 1 La2i 2 ...,Lami m , i = 1,2,...,n.

3. Si

A =

      



a11 . . . . a1n a21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 . . . . amn

       

es una matriz mxn de rango r. ENTONCES a) Existen n − r cantidades adimensionales Π1,Π2, ...,Πn−r independi- entes que pueden formarse con las q1,q2,...,qn. b) La ley f´ısica f(q1,q2,...,qn) = 0 es equivalente a F(Π1,Π2, ...,Πn−r) = 0.

En esencia, el teorema expresa que es posible describir un fen´omeno con una cantidad de par´ametros adimensionales (Π1,Π2, ...,Πn−r) que es menor que la cantidad de par´ametros dimensionales involucrados (q1,q2,...,qn).

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