Teorema de Cayley
Enviado por Maria Ortiz • 14 de Julio de 2022 • Trabajos • 1.391 Palabras (6 Páginas) • 110 Visitas
Teorema de Cayley-Hamilton
María Camila Delgado Ortiz
Licenciatura en Matemáticas
macadelgado@unicauca.edu.co
Resumen: En el presente documento se estudiará el teorema de Cayley-Hamilton, el cual establece que una matriz cuadra A satisface su ecuación característica: Si es el polinomio característico de A, entonces es la matriz nula, es decir. Como sabemos todo teorema debe ser demostrado y para este caso utilizaremos la demostración encontrada en R. Bellman (1965) ya que esta es puramente algebraica. Es importante realizar la demostración puesto que con esto podremos darnos cuenta de la utilidad que tiene el teorema, como por ejemplo calcular la inversa de una matriz (A) que sea no singular. [pic 1][pic 2][pic 3]
Introducción
En este documento se realizar un proyecto sobre el teorema de Cayley-Hamilton, el cual fue creado por los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton. Los matemáticos Cayley y Hamilton afirmaron que a grandes rasgos una matriz se anula en su polinomio característico.
El teorema de Cayley-Hamilton, nos ayudar a encontrar la inversa de una matriz que es no singular y también potencias de matrices.
Conceptos y fórmulas
Sea
[pic 4] | (1) |
El polinomio característico de una matriz A de orden n. Entonces:
[pic 5] | (2) |
La ecuación (2) es la matriz nula. Es decir, cada matriz cuadrada A satisface su ecuación característica:
[pic 6] | (3) |
Demostración
Por las propiedades de las matrices se cumple que:
[pic 7] | (4) |
Donde:
[pic 8] | (5) |
La ecuación (5) es la matriz traspuesta de la matriz de los adjuntos de los elementos respectivos de la matriz.
[pic 9] | (6) |
[pic 10] | (7) |
La ecuación (7) es el polinomio característico de la matriz A.
Si denotamos
[pic 11] | (8) |
Donde, es una matriz polinómica en , de grado , que se puede escribir como: [pic 12][pic 13][pic 14]
[pic 15] | (9) |
Donde casa es una matriz de orden de , con elementos en el cuerpo K. Entonces el producto vale: [pic 16][pic 17][pic 18]
[pic 19] [pic 20] | (10) |
Por otro lado es la matriz polinómica:[pic 21]
[pic 22] | (11) |
Luego, igualando las matrices polinómicas, con elementos en el dominio ,[pic 23]
[pic 24] | (12) |
Se deduce que:
[pic 25] [pic 26] [pic 27] [pic 28] [pic 29] [pic 30] [pic 31] | (13) |
Si vamos sustituyendo cada matriz en la siguiente ecuación hasta llegar a la penúltima resulta: [pic 32]
[pic 33] [pic 34] [pic 35] [pic 36] [pic 37] [pic 38] [pic 39] [pic 40] | (14) |
Entonces sustituyendo es la última ecuación se obtiene: [pic 41][pic 42]
[pic 43] | (15) |
Por lo tanto,
[pic 44] | (16) |
Es decir:
[pic 45] | (17) |
Y así quede demostrado.
Ejercicios prácticos
- Verifique el teorema de Cayley-Hamilton para la matriz.
[pic 46]
Solución:
Llamamos a la matriz dada "A"
[pic 47]
Tomando la ecuación (7) tenemos que:
[pic 48]
[pic 49]
Desarrollamos las operaciones:
[pic 50]
[pic 51]
Ahora calculamos el determinante de la matriz resultante:
Calcularemos el determinante por la regla de Sarrus:
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
El teorema de Cayley-Hamilton implica que
[pic 56]
Por lo tanto:
[pic 57]
Nota: teniendo en cuenta que es una operación entre matrices es necesario expresarla como para evitar errores conceptuales[pic 58][pic 59]
[pic 60]
Resolvemos la ecuación obtenida para verificar el teorema de Cayley-Hamilton.
Reemplazamos la matriz A e I y resolvemos:
[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
[pic 64]
[pic 65]
[pic 66]
Nota: en el miembro izquierdo de la igualdad (0) no es una constante, es la matriz de ceros en este caso en particular.[pic 67][pic 68]
Por lo tanto, queda demostrado el teorema de Cayley-Hamilton para la matriz A.
- Verifique el teorema de Cayley-Hamilton para la matriz.
[pic 69]
Solución:
Aplicando la ecuación (7) para la matriz A se obtiene:
[pic 70]
[pic 71]
Para resolver el determinante de se aplica el método de los cofactores obteniendo:[pic 72]
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