Trabajo de matematicas

LOS NÚMEROS PERFECTOS

Los números perfectos son números naturales que resultan ser iguales a la suma de todos sus divisores propios positivos. Así, por ejemplo, el primer número perfecto es 6 porque los divisores positivos de él, sin contarse a sí mismo (divisores propios), son 1, 2 y 3, además resulta que 6 = 1 + 2 + 3. Los tres números perfectos que le suceden al 6 en forma inmediata son 28, 496 y 8128. Observe que:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Euclides descubrió que estos cuatro números obedecen a la fórmula  2n-1(2n-1) = N, con n=2, 3, 5 y 7. Mostró que la fórmula 2n–1(2n – 1) origina un número perfecto cuando 2n – 1 es primo. Los números perfectos han llamado la atención desde la antigüedad, tejiéndose muchas conjeturas a partir de primeros cuatro números perfectos conocidos. Una era que, como 2, 3, 5 y 7 son precisamente los primeros 4 primos, entonces el quinto número perfecto se obtendría tomando n, en la fórmula anterior, el quinto número primo que es 11. Pero, 211 – 1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y por tanto n = 11 no determina un número perfecto. Otras 2 conjeturas erróneas eran las siguientes:

•        El quinto número perfecto debería tener 5 dígitos, pues los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente

•        El último digito de un número perfecto debería ser alternativamente 6 u 8.

Posteriormente, se descubrió que 33 550 336 que es el quinto numero perfecto encontrado tiene 8 dígitos, contradiciendo así la primera suposición. Respecto a la segunda, el quinto número perfecto termina en acaba en 6, pero también el 8 589 869 056 que es el sexto número perfecto conocido y termina en 6. Se conoce que la última cifra de un número perfecto par expresado en base 10 siempre es 6 u 8. Aun, no se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10300. Los números perfectos impares, constituyen un misterio. Hasta ahora, nadie ha encontrado ninguno, pero tampoco se ha encontrado un argumento que demuestre que no existen.

Gardner, M (1995). Circo matemático. Capítulo 10. Alianza Editorial. Madrid. PP. 108-120.

1. El primer número perfecto es:

    A. 2.

    B. 3.  

    C. 6

    D. 4.

 2. El quinto número primo que es:

     A. 23.

     B. 89.

     C. 28.

     D. 11. 

 3.  El quinto numero perfecto encontrado tiene:

     A. 4 primos

     B. 8 dígitos

     C. 2 conjeturas.

     D. 5 dígitos.

 4. Los tres números perfectos que le suceden al 6 de forma inmediata son:

     A. 3, 5 y 7.

     B. 14, 248 y 4064.

     C. 1, 2 y 3

     D. 28, 496 y 8128.

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