Transformaciones Lineales

COMBINACION LINEAL

Definición.- Sean vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

Donde son escalares se llama una combinación lineal de .

EJEMPLOS:

Si .Determine si es combinación lineal de .

Determine si el vector es combinación lineal de .

Por tanto el conjunto es un Sistema inconsistente y no son combinación lineal.

CONJUNTO GENERADOR

Definición.- Se dice que los vectores en un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de ellos. Es decir, para todo , existen escalares tales que:

EJEMPLOS:

Determine un conjunto generador para el espacio

Un conjunto generador para ese espacio es

Encuentre un conjunto generador para:

a)

b)

ESPACIO GENERADO

Definición.- Sea vectores en un espacio vectorial V. El espacio generado por es el conjunto de combinaciones lineales de , Es decir,

Donde son escalares arbitrarios.

TEOREMA

Si son vectores no nulos de un espacio vectorial V, entonces

Es un subespacio de V.

DEMOSTRACION

EJEMPLOS:

Determine el espacio generado por los vectores .

Sea . Determine si . Hallar el menor subespacio que generan los vectores dados en .

INDEPENDENCIA LINEAL

Definición.- Sean n vectores en un espacio vectorial V.

...