Transformaciones Lineales

INTRODUCCION

Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales emplearemos dos herramientas matemáticas que facilitar los cálculos: las matrices y los determinantes.

Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) - Teorema de Rouché-Fröbenius -.

Definición de transformación lineal y sus propiedades

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,

i)

,

.

ii)

,

,

.

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.

Observaciones:

i) Si

es una transformación lineal, entonces

Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales..

En efecto

. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que

.

Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.

ii)

es lineal si y solo si

,

,

.

Si T lineal, entonces

. Inversamente, supongamos que

,

,

. Probemos las dos condiciones para que T sea lineal:

a)

.

b)

Nótese que usamos el hecho de que

, lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).

iii)

es lineal si y solo si

,

.

La demostración se hace por inducción sobre n.

a) Si

, entonces

, por la condición (ii) de T.

b) Supongamos válido para n. Probemos para

:

Por la condición (i) de T, tenemos que,

Y por hipótesis de inducción, tenemos que,

Así que podemos concluir que,

Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:

Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación (ii) de arriba.

Ejemplo 1.

Sea

tal que

,

. Entonces T es lineal, ya que

, y por otro lado,

. Por lo tanto,

vemos que

.

Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como

.

Ejemplo 2.

Sea

tal que

,

. Entonces T es lineal, ya que

.

Esta

...