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Transformaciones Lineales


Enviado por   •  20 de Octubre de 2012  •  866 Palabras (4 Páginas)  •  1.140 Visitas

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Transformaciones Lineales.

En el estudio de las matemáticas, las funciones son de vital importancia. Las funciones que aplican un espacio vectorial en otro y tienen la propiedad de preservar las operaciones son las transformaciones lineales, las cuales tienen muchas aplicaciones en física, ingeniería, ciencias sociales, economía etc.

Transformación Lineal.

Definición 1.

Sean y dos espacios vectoriales sobre . Una transformación lineal es una función cuyo dominio es V y cumple las dos propiedades:

1) ; .

2) .

La figura 1, presenta una vista de esta regla de correspondencia.

Seguidamente, consideramos algunos ejemplos de transformaciones lineales.

Ejemplo 1.

La función definida por es una transformación lineal.

Prueba.

1) Sean , , entonces

, luego

.

Por otro lado, , entonces

.

Por lo tanto .

2) Como , entonces ,

.

Por lo tanto, .

Ejemplo 2.

La función,

definida por no es una transformación lineal.

En efecto,

Sean , entonces

Por otro lado, entonces , esto es,

Por tanto no es una transformación lineal.

Ejemplo 3.

La función definida por es una transformación lineal.

Prueba.

1) Sean , , entonces

, luego

.

Por otro lado, , entonces

.

Por lo tanto .

2) Como , entonces ,

.

Por lo tanto, .

Ejemplo 3.

La función,

definida por es una

transformación lineal. ¡ Demuéstrelo !.

Ejemplo 4.

La función definida por

es una transformación lineal.

Prueba

1) Sean , , entonces

,

entonces

Por otro lado, , entonces

.

Por lo tanto

2) Como, , entonces

.

Entonces .

Ejemplo 5.

Sea , entonces la función definida por es una transformación lineal, donde es considerado como el vector columna .

Prueba.

1) Sean , , entonces , esto es .

2) , de donde .

Ejemplo 6.

La función definida por , donde es la transpuesta de la matriz es una transformación lineal.

Ejemplo 7.

La función definida por es llamada transformación lineal identidad de .

Teorema 1.

Sea una transformación lineal y los vectores cero de respectivamente. Entonces :

1) .

2) para todo .

3)

4) es transformación lineal  para todo y .

5) , .

6) Para

...

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