Transformaciones Lineales
Enviado por jesus10 • 20 de Octubre de 2012 • 866 Palabras (4 Páginas) • 1.531 Visitas
Transformaciones Lineales.
En el estudio de las matemáticas, las funciones son de vital importancia. Las funciones que aplican un espacio vectorial en otro y tienen la propiedad de preservar las operaciones son las transformaciones lineales, las cuales tienen muchas aplicaciones en física, ingeniería, ciencias sociales, economía etc.
Transformación Lineal.
Definición 1.
Sean y dos espacios vectoriales sobre . Una transformación lineal es una función cuyo dominio es V y cumple las dos propiedades:
1) ; .
2) .
La figura 1, presenta una vista de esta regla de correspondencia.
Seguidamente, consideramos algunos ejemplos de transformaciones lineales.
Ejemplo 1.
La función definida por es una transformación lineal.
Prueba.
1) Sean , , entonces
, luego
.
Por otro lado, , entonces
.
Por lo tanto .
2) Como , entonces ,
.
Por lo tanto, .
Ejemplo 2.
La función,
definida por no es una transformación lineal.
En efecto,
Sean , entonces
Por otro lado, entonces , esto es,
Por tanto no es una transformación lineal.
Ejemplo 3.
La función definida por es una transformación lineal.
Prueba.
1) Sean , , entonces
, luego
.
Por otro lado, , entonces
.
Por lo tanto .
2) Como , entonces ,
.
Por lo tanto, .
Ejemplo 3.
La función,
definida por es una
transformación lineal. ¡ Demuéstrelo !.
Ejemplo 4.
La función definida por
es una transformación lineal.
Prueba
1) Sean , , entonces
,
entonces
Por otro lado, , entonces
.
Por lo tanto
2) Como, , entonces
.
Entonces .
Ejemplo 5.
Sea , entonces la función definida por es una transformación lineal, donde es considerado como el vector columna .
Prueba.
1) Sean , , entonces , esto es .
2) , de donde .
Ejemplo 6.
La función definida por , donde es la transpuesta de la matriz es una transformación lineal.
Ejemplo 7.
La función definida por es llamada transformación lineal identidad de .
Teorema 1.
Sea una transformación lineal y los vectores cero de respectivamente. Entonces :
1) .
2) para todo .
3)
4) es transformación lineal para todo y .
5) , .
6) Para
...