TRANSFORMACIONES LINEALES

ÍNDICE

PAG.

Introducción

3

1. Transformaciones lineales

4

1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades

4

1.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)

7

1.3 Definición del núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal

11

1.4 La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal

13

1.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales

15

1.6 Algebra de las transformaciones lineales

19

1.7 Aplicación de las transformaciones lineales.

19

Conclusión 22

Bibliografía

23

INTRODUCCIÓN

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

1. TRANSFORMACIONES LINEALES

1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades

Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal de V en W, es una función tal que:

i) , .

ii) , , .

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.

Observaciones:

i) Si es una transformación lineal, entonces .

En efecto . Por la ley de la cancelación en W, tenemos que .

Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.

ii) es lineal si y solo si , , .

Si T lineal, entonces . Inversamente, supongamos que , , . Probemos las dos condiciones para que T sea lineal:

a) .

b)

Nótese que usamos el hecho de que , lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).

iii) es lineal si y solo si

, .

La demostración se hace por inducción sobre n.

a) Si , entonces , por la condición (ii) de T.

b) Supongamos válido para n. Probemos para :

Por la condición (i) de T, tenemos que, Y por hipótesis de inducción, tenemos que,

Así que podemos concluir que,

Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:

Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación (ii) de arriba.

Ejemplo 1.

Sea tal que , . Entonces T es lineal, ya que , y por otro lado, . Por lo tanto, vemos que .

Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como .

Ejemplo 2.

Sea tal que , . Entonces T es lineal, ya que .

Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como .

Ejemplo 3.

Sea tal que la traza de A, es decir, , la suma de los elementos de la diagonal. Entonces T es lineal, ya que

Ejemplo 4.

Sea tal que . Entonces T es lineal, ya que

Ejemplo 5.

Sea tal que , la derivada de . Entonces T es lineal ya que:

Ejemplo 6.

Sea , el espacio vectorial de todas las funciones continuas en un intervalo cerrado y sea tal que . Entonces T es lineal ya que:

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

1. T(u+v) = T(u) + T(v)

2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.

Clasificación de las transformaciones lineales

1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.

2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).

3. Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).

4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).

5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

1.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)

Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo )

Sea un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de en que gira cada vector un ángulo , para obtener un vector . En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

Distribuyendo y usando el hecho de que y tenemos que:

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación tal que .

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo y es lineal, ya que:

Ejemplo 8. (Reflexión sobre el eje x)

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de en que cada vector lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector . En una gráfica, vemos la situación como sigue:

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Ejemplo 9. (Proyección ortogonal sobre el eje x)

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de en que a cada vector lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector . En una gráfica, vemos la situación como sigue:

También este caso es sencillo, pues es obvio que T queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de Álgebra Lineal. Consideremos el siguiente subespacio de :

Vemos que éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien, tiene un complemento directo, a saber,

De tal forma que cada vector se escribe en forma única como suma de un vector de más un vector de como sigue:

Notamos que la proyección sobre el eje x, manda a sobre , el cual es precisamente el término correspondiente a en la descomposición anterior!

Todo esto nos induce a definir proyecciones sobre subespacios en general como sigue:

Definición. Sea V un espacio vectorial y sea un subespacio tal que existe el complemento directo de en V, es decir tal que , de tal forma que cada vector se escribe en forma única como:

Con y . Definimos entonces la proyección sobre , como aquella transformación tal que .

Lo primero que observamos es que esta transformación es lineal, ya que si , con y , entonces con y . Por lo tanto, de acuerdo a la definición de T, tenemos que:

En segundo lugar, vemos que esta definición, incluye como caso especial a la de la proyección sobre el eje x. Sin embargo, vemos que no es suficiente con especificar sobre que subespacio queremos proyectar, sino también es necesario aclarar cual es el complemento directo que se estará usando, ya que un mismo subespacio puede tener distintos complementos directos. El mismo eje x, tiene el siguiente complemento directo:

En efecto, es claro que es un subespacio de y . Además, cada se escribe como . Todo esto demuestra que . Usando esta descomposición

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