Transformación de Laplace

Transformación de Laplace:

1. Definición:

∞

𝑓{𝑓(𝑡)}(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∗ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

0[pic 1]

-cómo es una transformación lineal puede separar sumas y multiplicaciones de constantes, pero no separa productos entre variables.

1. Notación:

• 𝑓{𝑓(𝑡)}(𝑠) = 𝐹(𝑠)
• 𝑓{𝑓(𝑡)}(𝑠) = 𝑌(𝑠)

1. Transformación de Laplace notables

• 𝑓(1) = 1[pic 2]

𝑠

• 𝑓(𝑡𝑛) =        𝑛![pic 3]

𝑠𝑛+1

• 𝑓(𝑒𝑎𝑡) =        1[pic 4]

𝑠−𝑎

1. Teorema de existencia

• 𝑓(sin(𝑘𝑡)) =        𝑘

𝑠2+𝑘2[pic 5]

• 𝑓(cos(𝑘𝑡)) =        𝑠[pic 6]

𝑠2+𝑘2

-Si f es una función continua en [0, ∞[ y f es de orden exponencial C, entonces 𝐹(𝑠) = 𝑓{𝑓(𝑡)}(𝑠) existe para 𝑠 > 𝐶 𝑦 lim 𝐹(𝑠) = 0

𝑠→∞

1. Transformación de derivadas

𝑓{𝑓′(𝑡)}(𝑠) = 𝑠 𝐹(𝑠) − 𝑓(0)

𝑓{𝑓𝑛(𝑡)}(𝑠) = 𝑠𝑛𝐹(𝑠) − 𝑠(𝑛−1)𝑓(0) − 𝑠(𝑛−2)𝑓′(0) − ⋯ − 𝑓(𝑛−1)(0)

1. Traslación a través del eje s[pic 7]

𝑓{𝑒𝑎𝑡 𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠 − 𝑎)

𝑓−1{𝐹(𝑠 − 𝑎)} = 𝑒𝑎𝑡 𝑓(𝑡)

1. Traslación a través del eje t

• Función de paso unitario

𝑢(𝑡 − 𝑎) = {0 𝑠𝑖        0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎

1 𝑠𝑖        𝑡 ≥ 𝑎

• En general

𝑓(𝑡) = {𝑔(𝑡)        0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎[pic 8]

ℎ(𝑡)        𝑡 ≤ 𝑎

𝑓(𝑡) = (1 − 𝑈(𝑡 − 𝑎)) 𝑔(𝑡) + 𝑈(𝑡 − 𝑎) ℎ(𝑡)

• Teorema de traslación

𝑓{𝑓(𝑡 − 𝑎) ∗ 𝑈(𝑡 − 𝑎)} = 𝑒−𝑠𝑎 𝐹(𝑠)[pic 9][pic 10][pic 11]

𝑓−1{𝑒−𝑠𝑎 𝐹(𝑠)} = 𝑓(𝑡 − 𝑎) ∗ 𝑈(𝑡 − 𝑎)

𝑓{𝑓(𝑡) ∗ 𝑈(𝑡 − 𝑎)} = 𝑒−𝑠𝑎 𝑓{𝑓(𝑡 + 𝑎)}        transformación directa

o Observación:[pic 12]

𝑓{𝑈(𝑡 − 𝑎)} = 𝑒−𝑠𝑎 𝑓{1} =

𝑒−𝑠𝑎

[pic 13]

𝑠

1. Teorema de la derivada de transformaciones

𝑓{𝑡𝑛 ∗ 𝑓(𝑡)} = (−1)𝑛 𝑑𝑛[pic 14]

𝑑𝑠𝑛

𝐹(𝑠)

𝑓{𝑡 ∗ 𝑓(𝑡)} = −1 ∗ 𝑑[pic 15]

𝑑𝑠

𝐹(𝑠)

⟹ 𝑓

(𝑡)

= − 1

𝑡[pic 16]

𝑓−1{ 𝑑

𝑑𝑠[pic 17]

𝐹(𝑠)}

...