Bernoulli

• Bernoulli concepto.DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLIEn teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribucióndicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, esuna distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad deéxito p y valor 0 para la probabilidad de fracaso q = 1 − p. Por lo tanto, si X es unavariable aleatoria con esta distribución.Consiste en realizar un experimento aleatorio una sóla vez y observar si ciertosuceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p elque no lo sea (fracaso).Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial.Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidaddel resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultadode cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denominaéxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantesen todos los experimentosExplicaciónUn experimento que tenga dos resultados. Al primero se le llama éxito y al otrofracaso. La probabilidad por éxito se denota por p. por consecuencia laprobabilidad de fracaso es 1-p. lo anterior representa un ensayo de Bernoulli conprobabilidad de éxito p. el mas el mas sencillo de este es el lanzamiento de una

• 2. moneda. Los posibles resultados son dos “cara o cruz” si cara se define comoéxito, entonces p constituye esa probabilidad. En una moneda p= ½N=número de elementos.P=éxito.q=fracaso.X=variable aleatoria.La distribución Bernoulli estada por los únicos dos valores posibles que deben ser1 y 0; de no cumplirse esta regla es decir si se quebranta se estaría ablando deque no es una distribución Bernoulli sino otra de las tantas distribuciones.Ejemplo:X p1 .50 .5Suma 1  Si se lanza una moneda 5 veces ¿Probabilidad de que se obtenga 3 veces cruz?N=5P=.5q=.5X=3P= (1) (.5)3 (.5)2 La distribución binomial o de BernoulliLa distribución binomial está asociada a experimentos del siguiente tipo:- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo laposibilidad de éxito o fracaso.

• 3. - La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de laobtención de éxito oFracaso en las demás ocasiones.- La probabilidad de obtener ´éxito o fracaso siempre es la misma en cadaocasión.Veámoslo con un ejemploTiramos un dado 7 veces y contamos el numero de cincos que obtenemos. ¿Cuáles la probabilidad de obtener tres cincos?.Este es un típico ejemplo de distribución binomial, pues estamos repitiendo 7veces el experimento de lanzar un dado. ¿Cuál es nuestro ´éxito?.Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.El fracaso, por tanto, seria no sacar 5, sino sacar cualquier otro número.Por tanto, Éxito = E = “sacar un 5” = ´ ⇒p(E) =16Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒p(F) =56Para calcular la probabilidad que nos piden, observemos que nos dicen quesacamos 3 cincos y por lo tanto tenemos 3 ´éxitos y 4 fracasos, ¿de cuantasmaneras pueden darse estas posibilidades?.Podríamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacarcinco, es decir: EEEFFFFPero también podríamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamoscalculando la E es exito y la F es fracaso

• 4. PoissonEn teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson esuna distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuenciade ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número deeventos durante cierto periodo de tiempo.La función de masa de la distribución de Poisson esdonde k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces). λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40. e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribuciónde Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. Dehecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entoncessegún la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al númerode particiones de tamaño n.La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no enteroes igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representanla función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valoresperado λ esLas variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles.La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson deparámetro λ0 a otra de parámetro λ es

• 5. Para qué sirve conocer que algo es Poisson?Porque si se tiene caracterizado el comportamiento probabilístico de un fenómenoaleatorio, podemos contestar preguntas como: • Qué probabilidad hay de que lleguen más de 15 clientes al banco en un intervalo de 5 minutos de duración? • Qué probabilidad hay de que suceda por lo menos una falla en un tramo de 1km de tubería de gas? • Qué probabilidad hay de que en un estanque de cultivo de camarón,

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