PROCESO DE BERNOULLI

“PROCESO DE BERNOULLI”

Prueba de Bernoulli y Distribución Binomial

Se llama prueba de Bernoulli a toda realización de un experimento aleatorio en el que sólo son posibles dos resultados, arbitraria, pero tradicionalmente, llamados éxito y fracaso y que son mutuamente excluyentes. Son ejemplos: Lanzar una moneda y observar el resultado: cara “éxito” o cruz “fracaso” o viceversa. Que al elegir una pieza fabricada no sea defectuosa “éxito” o defectuosa “fracaso”. Que la respuesta a una pregunta de examen sea correcta “éxito” o incorrecta “fracaso”. Que al seleccionar una persona de una población vote a un partido político “éxito” o no “fracaso”. Que al seleccionar una persona de una población tenga cierta enfermedad “éxito” o no “fracaso”. Que al seleccionar una persona de una población compre un producto “éxito” o no “fracaso”. Se insiste que indistintamente se puede llamar éxito o fracaso a uno de los resultados, normalmente se llama éxito a aquel que se quiere conocer. Sobre este espacio muestral de dos sucesos elementales: “éxito” “fracaso” , se define una variable aleatoria X que les atribuye un valor o código distinto a cada uno, que por sencillez y tradición y como se vio en la codificación serán 1 “éxito” y 0 “fracaso”. Sea, además, p la probabilidad de obtener “éxito” en la prueba a la que se asigna el valor o código 1 y q =((1 -p )) la probabilidad de obtener “fracaso” en la prueba a la que se asigna un 0 (Tabla 67).

Este resultado era de esperar, ya que la suma de las probabilidades de los dos únicos resultados posibles (éxito / fracaso) en la prueba de Bernoulli tiene que ser 1. Suponiendo ahora que se repite n veces la prueba independiente de Bernoulli tales que la probabilidad de éxito se mantiene constante en todas las pruebas. Es decir, suponiendo N variables aleatorias (v.a.) de Bernoulli, X 1 , X 2 , X 3 , ... X n , tales que p 1 = p 2 = p 3 = ... = p n = p; y q 1 = q 2 = q 3 , = … q n = q, y con x 1 , x 2 , x 3 , ... x n = 0 ó 1 . Se considera la v.a. X = x 1 + x 2

Los resultados posibles de la v.a. X serán: 0 (fracaso en las n pruebas de Bernoulli, entonces todas las x i = 0); 1 (éxito en una de las n pruebas de Bernoulli, entonces una x i = 1); 2 (éxito en dos de las n pruebas de Bernoulli, entonces dos x i = 1); n (éxito en todas las n pruebas de Bernoulli, entonces todas las x i = 1). Entonces la variable aleatoria X contiene el número de éxitos en las n pruebas. Ahora se calcula su distribución. La probabilidad de éxito p, se mantiene constante a lo largo de las n pruebas y, por lo tanto, se mantiene constante la probabilidad de fracaso q = ((1 -p )). Como estas pruebas son independientes, la probabilidad

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