DEFINICIÓN DE FUNCIONES

DEFINICIÓN DE FUNCIONES

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

La principal característica de una función, es que debe cumplir que, para cada valor de dominio, le corresponda UNO y SOLO UN valor del codominio, esto es: para cada valor de X, debe haber uno y solo uno valor de Y Es por eso que una circunferencia no es una función.

De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda.

La función se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos conjuntos.

Básicamente, hay tres formas para expresar una función: mediante una tabla de valores (como el ejemplo anterior), mediante una expresión algebraica o, como veremos luego, mediante una gráfica.

TIPOS DE FUNCIONES

Función Constante

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

para valores de a iguales:Y=8Y=4,2Y=-3,6

La función constante como un polinomio en x es de la forma

Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a.

El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a "Todos los Reales"Mientras que la imagen tan solo va hacer el valor de a.

Es una Función Continua.

¿Qué significa la recta representa por la función y=0?

Representa que la recta pasara por todo el eje X.

Función lineal

Es aquella que satisface las siguientes dos propiedades:

• Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f(y), entonces f(x + y) = f(x) + f(y). Se dice que f es un grupoisomorfista con respecto a la adición.

• Propiedad homogénea: f (ax) = af(x), para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad aditiva esta establecida.

En esta definición x no es necesariamente un número real, pero es en general miembro de algún espacio vectorial.

Para comprobar la linealidad de una función no es necesario realizar la comprobación de las propiedades de homogeneidad y aditividad por separado, con mostrar que la linealidad queda demostrada.

El concepto de linealidad puede ser extendido al operador lineal. Ejemplos importantes de operaciones lineales incluyen a la derivada considerada un operador diferencial y muchos construidos de él, tal como el Laplaciano. Cuando una ecuación diferencial puede ser expresada en forma lineal, es particularmente fácil de resolver al romper la ecuación en pequeñas piezas, resolviendo cada una de estas piezas y juntando las soluciones.

Las ecuaciones no lineales y las funciones no lineales son de interés en la física y matemáticas debido a que son difíciles de resolver y dan lugar a interesantes fenómenos como la teoría del caos.

Función Cuadrática

La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:

Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.

Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.

Eje de simetría: x = xv.

Intersección con el eje y.

Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

Función Logarítmica

Se llama función logarítmica a la función real de variable real:

La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R :

• La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.

• Los números negativos y el cero no tienen logaritmo

• La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a.

• Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2"718281...

Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma

Se hallan por medio de la fórmula :

Función Exponencial

La función

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