Logica Matematica

LAS CONICAS

INTRODUCCIÓN

La siguiente Unidad Didáctica está dividida en varias secciones, lo que permite el estudio independiente de cada una de ellas.

Objetivos:

• Que los alumnos reconozcan e identifiquen los distintos elementos y las ecuaciones de las cónicas.

• Que sea capaz de construirlas y relacionar la ecuación con la curva.

• Utilizar las propiedades intrínsecas y métricas en la resolución de problemas.

• Estimular la creatividad, la curiosidad, la imaginación y la intuición.

• Elaborar hipótesis y a partir de la experimentación inferir tesis.

• Desarrollar la capacidad de explorar e investigar en la resolución de problemas.

• Que el alumno sea capaz de expresar, comunicar y exponer sus ideas utilizando el lenguaje matemático.

• Que los alumnos sean capaces de discutir, investigar en grupo y desarrollar el espíritu crítico.

Orientaciones didácticas.- Los programas de geometría dinámica en general han abierto un mundo de posibilidades en la enseñanza de la Geometría. Mediante estas aplicaciones los alumnos pueden manipular las figuras, deformarlas, y éstas mantienen las propiedades que las definen, lo que permite que el discente infiera, experimente, conjeture, descubra y en general mejore su capacidad para las matemáticas.

La metodología que se plantea en esta unidad y en general en la asignatura es la participación activa del alumnado en la construcción de su propio aprendizaje, tanto a nivel individual como en grupos de trabajo.

En las sesiones de aula plumier los contenidos se trabajarán mediante unas guias didácticas

HISTORIA DE SECCIONES CÓNICAS

Se llegó a la segunda cumbre en la geometría clásica Griega alrededor de los 200 a. C. con el trabajo sobre las secciones cónicas de Apolonio (262-190 a.C.). Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto, variando el ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono y "a partir del cono dedujo una propiedad plana fundamental, una condición necesaria y suficiente para que un punto esté situado en la curva, y en ese momento abandonó el cono y procedió a estudiar las cónicas por métodos planimétricos exclusivamente..." y "consigue una de las mejores obras de la matemática antigua". Desde un interés puramente matemático, las secciones cónicas han evolucionado hasta su utilidad en muchos y variados contextos. Es, por supuesto, de principal importancia el que se incluyeran en las descripciones del movimiento planetario de Kepler al inicio del siglo XVII; y más tarde por Newton al final del siglo XVII cuando, en uno de los mayores adelantos en la ciencia, el dedujo de su ley de gravitación que la forma de la órbita de los planetas era una elipse.

Las aplicaciones de las cónicas son abundantes. Por ejemplo, las propiedades de reflexión de la elipse son aprovechadas en la destrucción de los cálculos renales y también las de la parábola en las antenas parabólicas. Para realizar ciertos movimientos mecánicos en de los robots, se necesitan engranes elípticos. La hipérbola es aprovechada en navegación (navegación hiperbólica, sistemas Navegadores Decca). Sin apenas darnos cuenta, de muchas maneras las secciones cónicas son parte de nuestra vida diaria.

El tamaño de una elipse particular es atribuido a la figura concreta. La forma abstracta en lo que uno debe pensar como el “alma” de la figura, para la elipse está caracterizada por la excentricidad, que es lo que mide qué tan aplanada está.

Etimológicamente, las cónicas son las curvas obtenidas cortando un cono circular, recto u oblicuo, por un plano.

Cuando el plano no pasa por el vértice del cono, se obtiene una conica propiamente dicha: círculo, elipse, hipérbola, parábola según la inclinación del plano sobre el eje del cono.

Cuando el eje pasa por el vértice del cono, la conica se dice impropia o degenerada sea que se reduzca al vértice del cono, sea que se reduzca a dos aristas o confundidas, del cono.

En esta parte estableceremos las ecuaciones de las cónicas, así como sus propiedades más importantes, pero no lo haremos de la manera clásica; es decir, dando la definición de cada una de ellas, sino que daremos la definición general de las cónicas, la misma que considera una propiedad característica de ellas, llamada excentricidad.

LA PARÁBOLA

La ecuación de la parábola deduciremos a partir de su definición como el lugar geométrico de un punto que se mueve con un punto de acuerdo con una ley especificada.

Definición. Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

El punto fijo se llama Foco y la recta fija directriz de la parábola. La definición excluye en el caso en que el foco esta sobre la directriz.

Designemos por F y l (figura 74), el foco y directriz de una parábola, respectivamente. La recta a que pasa por F y es perpendicular a l se llama eje de la parábola. Sea A el punto de intersección del eje y la directriz. El punto V punto medio del segmento AF, esta por definición, sobre la parábola ; este punto se llama vértice. El segmento de recta, tal como BB, que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama en particular, una cuerda que pasa por el foco CC’, se llama cuerda focal.

La cuerda focal LL’ perpendicular al eje se llama lado recto. Si P es un punto cualesquiera de la parábola, la recta FP que une el foco F con el punto P se llama radio focal de P o radio vector.

Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje un eje coordenado. Veremos que la ecuación de un parábola toma su forma mas simple cuando su vértice esta en su eje coincide con uno de los ejes coordenados. De acuerdo don este consideremos la parábola cuyo vértice esta en el origen (figura 75) y cuyo eje coincide con el eje X. Entonces el foco F esta sobre el eje X; sean (p.o) sus coordenadas. Por definición de parábola, la ecuación de la directriz l es

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