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Estática comparativa

El método de Lagrange, su extensión y generalización en el capítulo 3, introducir un multiplicador indeterminado para cada restricción. Los valores de estos multiplicadores se encuentran como una parte de la solución del análisis heurístico del problema de elección de los consumidores en el capítulo 1 ofrece una interpretación económica por su lenguaje multiplicador: como fue la utilidad marginal de ingreso. En el capítulo 2 y 3 se da ha entender como una interpretación similar general para problemas de optimización con restricciones. Ese es el tema central de este capítulo.

Un problema de optimización tiene varios parámetros como datos. En la maximización de F (χ) sujeto a G (χ) = C, el parámetro c es un ejemplo obvio. También hay otros parámetros que aparecen en las definiciones de las funciones F y G, para expulsar pesos α, β, y los precios, en los ejemplos de ejercicios del capítulo 2. Los economistas a menudo necesitan saber cómo la solución del problema cambiará la tesis de parámetros tomando valores diferentes, en la teoría del consumidor, se discuten los efectos renta y sustitución de los cambios de precios mediante la comparación de las opciones óptimas para diferentes líneas presupuestarias. En la teoría de la producción de la oferta y la demanda, el costo marginal es la diferencia entre los costes de producción de dos niveles diferentes de salida cuando la empresa elige la combinación de insumos de menor costo para cada nivel de salida. El método general de la comparación de soluciones para los cambios de distintos parámetros se llama estática comparativa, y la importancia de los multiplicadores de Lagrange reside en el hecho de que proporcionan la respuesta a una cuestión muy importante estático comparativo.

Restricciones de Igualdad

Comencemos en el ajuste sencillo del capítulo 2, con opciones variables de remolque (χ1, χ2), una función objetivo f (χ), y una restricción de igualdad G (χ) = c. Vamos χ denotar la elección óptima, y υ = F (χ) el valor más alto posible. Ahora supongamos que c aumenta por una cantidad infinitesimal de corriente continua. Sea (χ χ + d) ser la nueva elección óptima, y υ + dυ el nuevo valor óptimo.

Tenga en cuenta una pequeña diferencia entre el uso de aquí y la del capítulo 2. Allí, el objetivo era poner a prueba χ para optimalidad, y lo hicimos teniendo en cuenta las desviaciones arbitrarias que sujetaban a la χ óptima. Ahora el d incremento no es arbitraria, sino que es el cambio óptimo pequeño en la elección, que surge en respuesta a un pequeño cambio en los parámetros.

Para estos pequeños cambios, podemos utilizar las aproximaciones de Taylor orden-puño a los cambios en los valores de F y G. Tenemos

En la derivación, el envío y las líneas cuarta son las aproximaciones de Taylor, la tercera línea se utiliza la condición de primer orden (2.6), nud la quinta línea utiliza la restricción (2,1). El resultado se puede escribir

dυ / dc - χ (4,1)

Así, el multiplicador es la velocidad de cambio del valor máximo posible de la función objetivo con respecto a un cambio en el parámetro en el lado derecho de la restringen. Ahora podemos ver la utilidad marginal de la renta en el capítulo 1 como un caso especial de este resultado más general.

El caso de varias variables de elección y limitada ecuación no es más difícil. En notación matricial, el argumento es de hecho idéntico. Consulte la sección primera del capítulo 3. Dejar que el lado derecho del vector de limitar el cambio por DC, y escribir χ d para el cambio resultante en la χ vector óptimo. Entonces

Haga una pausa un momento para comprobar el tamaño de los diversos vectores y matrices que se multiplican. Por ejemplo, en la primera expresión de la segunda línea, λ es un vector fila m-dimensional, G χ (χ) es una matriz de m por n, y d χ es un vector de columna n-dimensional. El resultado final es la fila producto del vector λ y la columna vector dc de m dimensiones iguales y por lo tanto es un escalar. De hecho, es el producto interno de los dos vectores:

λdc = Σι χι dcι

El resultado es lo suficientemente importante como para indicar el valor de referencia:

La interpretación de los multiplicadores de Lagrange: Si υ es el máximo de F (χ) sujeto a un vector de restricciones G (χ) = c, y λ es la fila vector de los multiplicadores de las restricciones, a continuación, cambiar dυ que resulta de un cambio infinitesimal dc está dada por

Dυ λ = CC (4,2)

Cabe destacar que (4,2) da solamente la aproximación de primer orden o lineal con el cambio en υ si el cambio en C es más que infinitesimal. Para estos cambios, podemos llevar el desarrollo de Taylor a órdenes superiores y encontrar una aproximación más cercana. Esto se hará, aunque para un propósito diferente en el capítulo 8.

Precios Sombra

Para ilustrar y explicar (4,2), se considera una economía planificada para que una plan de producción χ es ser elegido para maximizar una función F(χ) de bienestar social. El vector de las necesidades de recursos del plan es G(χ), y el vector de la parte disponible de estos recursos es c. Supongamos que el problema ha sido resuelto, y el vector de multiplicadores de Lagrange λ es conocido. Supongamos ahora que un poder fuera de la economía pone una pequeña cantidad adicional dcι del primer recurso (por ejemplo mano de obra) a su disposición. El problema de optimización puede ser resuelto de nuevo con la restricción de mano de obra nueva para determinar el nuevo modelo de producción. Pero sabemos que el aumento resultante n de bienestar social sin tener que hacer este cálculo: es simplemente λι dcι. Entonces podemos decir que el multiplicador λι es el producto marginal del trabajo en esta economía, como medido en unidades de su bienestar social. Esto es claramente una pieza vital de información económica, y es por eso que el método de Lagrange y sus multiplicadores son tan importantes en la economía.

Hay una sola entrada escasa, y luego una paráfrasis del argumento del capítulo 1 da otra forma muy instructiva de mirar a este resultado. Supongamos que utilizar la entrada de mano de obra adicional para aumentar la cantidad de un bien particular, digamos bien j, las salidas de todos los bienes sin cambios a otros. Puesto que estamos suponiendo, el pleno empleo de mano de obra en ambos casos, el aumento d χ, en la salida de la mercancía elegida debe satisfacer

G1, (χ) d χ; = dcι o χ d; = dcι / g, (χ).

El aumento resultante en el bienestar social es

F, (χ) d χ; = [F, (χ) / G, (χ)] dcι

La condición de optimalidad (2,5) dice que la relación entre los corchetes debe ser el mismo para todos los j. Por tanto, el efecto del incremento marginal de la oferta laboral en el bienestar social es independiente de la forma en que el trabajo extra se utiliza. Es por ello que podemos hablar sin ambigüedades del producto marginal del trabajo.

Supongamos ahora que la mano de obra adicional con sólo ser utilizado en algún costo. El máximo de la economía está dispuesto a pagar en términos de sus propias unidades de asistencia social es claramente λι por unidad marginal de C. Cualquier pago menor sale con un benéfico neto positivo del uso de la mano de obra adicional, para cualquier pago mayor el costo supera el beneficio. En este sentido natural, el multiplicador de Lagrange es el precio de la demanda de los lugares planificador de servicios laborales. A precio expresado en unidades de bienestar social puede parecer extraño, pero una pequeña modificación que trae a la luz familiar. Considere la posibilidad de algún otro recurso, por ejemplo la tierra, y el número es 2. Supongamos ahora que la economía ofrece los servicios de un adicional dcι de trabajo, pero pidió que dar a cambio de los servicios de dc2 de la tierra. La ganancia neta en el bienestar social de esta transacción es (λιdcι-λ2dc2). Por lo tanto la mayoría de la tierra que el planificador está dispuesto a darse por vencido es (λι/λ2) dcι. Entonces es igualmente natural llamar a la relación (λι/λ2) el precio de demanda de una unidad de trabajo medida en unidades de tierra. Usted sabe de la teoría microeconómia que los precios relativos en lugar de absolutos, los gobiernos de cambio de mercado, un recurso por otro.

Si una economía vecina tiene un diferente equilibrio entre los dos recursos en cuenta las diferencias en su disponibilidad relativa o la tecnología, entonces existe la posibilidad de comercio mutuamente ventajoso en servicios de factores entre los dos. (Incluso en los servicios factoriales no pueden ser objeto de comercio, el intercambio de productos hechos con estos factores pueden obtener una parte o incluso la totalidad de la ganancia mutua, pero los detalles de que nos llevaría demasiado lejos en la teoría del comercio internacional.)

Por supuesto, la organización interna de la economía no debe tener nada que ver con los precios y el multiplicador de Lagrange de la restricción de mano de obra no tiene por igual el salario que se paga realmente por cada hora-hombre. El trabajo simplemente puede ser dirigido a la economía de diversas tareas de comando. (Hay serios problemas conceptuales y prácticos de esta manera, ya que la mayoría de estilo económico soviético se ha dado cuenta, pero que de nuevo es otra historia). Pero el plan implícitamente coloca los valores de

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