Modelan Diversas Situaciones Utilizando Productos Algebraicos.

Inicio Saludo de bienvenida y motivo a mis estudiantes a responder dos preguntas:

1. ¿Cuál es la masa de un salmón después de x kilómetros?

2. ¿Cuántos salmones quedan vivos después de x kilómetros?

MODELAMIENTO PROBLEMA

En un criadero de salmones, tienen 400 salmones de 2 kg cada uno, que los liberaran para que naden río arriba, para desovar. Los salmones aumentan en masa, 400 gr por cada kilómetro que nadan, pero mueren 4 salmones cada kilómetro. ¿Cuál es el valor de la masa M de la comunidad de salmones que quedan vivos después de x km de nado?

Has una tabla de x versus M. Estima el valor de x que permite el máximo de masa de la comunidad de salmones.

Desarrollo LOS CONTENIDOS Y SUS RELACIONES

CONTENIDOS DECLARATIVOS

Para la primera pregunta, invitar a responder “¿cuánto aumentó la masa de un salmón después de x kilómetros?” Como aumenta 400 g por kilómetro, después de x kilómetros, su masa aumentará 400x.

MATEMATIZACIÓN:

Como al inicio, cada salmón pesaba 2 000 g, después de x km el salmón pesará 2 000 + 400x g.

Para la segunda pregunta: como mueren 4 salmones por km, se tiene que después de x km, se han muerto 4x salmones. Recordar que al comienzo se tenían 400 salmones, por lo tanto después de x km, se tendrán 400 − 4x salmones. Preguntar a los estudiantes: “¿cómo conocer la masa de la comunidad? Si conocemos la cantidad de salmones y la masa de cada uno de ellos” La respuesta debiera ser que el producto entre la masa de un salmón y la cantidad de salmones es la masa total de la comunidad.

RESOLUCIÓN:

CONTENIDO PROCEDIMENTAL

Es decir: M = (400 − 4x)(2 000 + 400x) = 1 600(100 − x)(5 + x)

La tabla de x versus M debiera ser del estilo:

SOLUCIÓN EN EL CONTEXTO:

Al respecto se puede invitar a los estudiantes a responder las siguientes preguntas:

1. ¿Era de esperar que cuando se ha transcurrido una larga distancia, la cantidad de masa total sea pequeña?

2. ¿Cómo explicarías que la cantidad de masa aumente y luego disminuya?

3. ¿Qué pasará cuando hayan transcurrido 100 km?

Para tratar de encontrar el valor de x que produce la máxima cantidad de masa total, se sugiere hacer una tabla más fina entre los valores de x de la tabla anterior, donde se sospecha la existencia del máximo. Como, según nuestros datos, M crece hasta x = 40 y decrece desde x = 50 en adelante, la conjetura es que el máximo está entre x = 40 y x = 50.

MOLDEAMIENTO:

Responde a las siguientes preguntas:

1. ¿Crees tú que M crece a medida que x crece? Explica.

2. ¿Crees tú que M decrece a medida que x crece? Explica.

3. ¿Crees tú que hay periodos en que M crece y luego M decrece? Explica.

4. ¿Cuál crees tú, aproximadamente, que es el valor de x que permite alcanzar un valor máximo de la masa? Explica.

5. ¿Cuál es el valor máximo de la masa? Explica.

6. ¿Cuántos peces había en ese momento? Explica.

7. ¿Cuánto pesaba cada pez en ese momento? Explica.

Cierre INTERNALIZACIÓN:

Es muy importante que las respuestas tengan un sentido real en el problema, por ejemplo no tendría sentido decir, “en el instante de máxima masa, había 211,5 peces vivos”. En ese caso comentar en el informe del estudiante lo irreal de su respuesta e invitarlo a darle un sentido dentro del problema inicial.

También es importante hacer notar, que por muy fina que sea la partición de la tabla, no es posible afirmar con certeza que nuestras conclusiones son las correctas, debido que a priori, no sabemos cuál será el comportamiento de la relación M(x), es por esto que las preguntas de la actividad se hacen en términos de conjeturas. Un análisis algebraico permite dar una respuesta

...