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1.1. EL ANÁLISIS DE REGRESIÓN

1.1.1 Interpretación

El inglés Francis Galton1 (1822 - 1911) fue el primero en introducir el término regresión.

Cuando estudiaba la relación entre las estaturas de los hijos y los padres observó que la estatura

de los hijos era alta o baja cuando los padres eran altos o bajos, respectivamente. Sin embargo,

la estatura promedio de los hijos cuyos padres tenían una estatura dada, tendía a moverse o

converger hacia el promedio de la población. Así, determinó una regresión de la estatura de los

hijos hacia el promedio o, en términos de Galton, “una regresión hacia la mediocridad”.

La Ley de Regresión Universal de Galton fue confirmada, años después, por Karl Pearson,

quien realizó un estudio similar utilizando más de mil observaciones. Con el estudio de Pearson

se confirmó que la estatura promedio de los hijos de un grupo de padres altos era menor que la

estatura de sus padres y la estatura promedio de los hijos de padres de estatura baja era mayor

que la de sus padres. Así, se observa que los hijos de estatura alta o baja, “regresan” en forma

similar hacia la estatura promedio de la población.

En este sentido, la regresión de una variable aleatoria Y sobre otra variable X fue entendida

como la media de Y condicional en X, a través de una relación funcional entre X e Y. El

estimador de los coeficientes involucrados en esta forma funcional fue hallado utilizando el

criterio de estimación de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), que será estudiado en el

siguiente capítulo, y las observaciones muestrales de X e Y.

1 Francis Galton, “Family Likeness in Stature”, Proceedings of Royal Society, Londres,vol, 40, 1886, pp. 42-72.

Econometría Moderna El Modelo de Regresión Lineal

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Una interpretación más moderna de regresión indica que la misma es cualquier aproximación

de la distribución de probabilidad de Y condicionada a los valores de las observaciones de X,

siendo Y una función de X. En otras palabras, el análisis de regresión estudia la relación

existente entre una variable endógena o dependiente (Y) y una o más variables exógenas o

independientes (X), con el objeto de estimar la media o valor promedio poblacional de la

primera en términos de los valores conocidos o fijos de las últimas. Ahora, resulta más clara la

relación entre el estudio de Galton y la definición moderna del término regresión.

A menudo se confunden los términos regresión y correlación, los cuales están estrechamente

ligados a pesar de que existen diferencias substanciales entre ellos. Por un lado el análisis de

correlación pretende medir el grado de asociación lineal entre dos variables a través del

coeficiente de correlación2. Por ejemplo, se puede estar interesado en conocer la correlación

entre la cuenta de capitales y la tasa de interés, entre los términos de intercambio y la balanza

comercial, entre la tasa de encaje y créditos del sistema bancario, etc. En cambio, cuando se

analiza una regresión se trata de estimar o de predecir el valor promedio de una variable

(llamada explicada, dependiente o endógena) utilizando valores fijos3 de las variables

explicativas (también llamadas independientes o exógenas) . Utilizando el ejemplo anterior,

puede ser que se desee predecir el saldo de la cuenta de capitales teniendo información muestral

de la tasa de interés o que se desee predecir el monto total de créditos conociendo la tasa de

encaje bancaria. Así, y conociendo la relación existente entre estas variables a través de un

análisis de regresión, será posible predecir valores de la variable dependiente utilizando

realizaciones de las independientes.

1.1.2 ¿Cómo se conecta el análisis económico con el análisis de regresión?

El análisis económico toma en consideración diversas variables en conjunto. La relación

entre las tasas de inflación y el desempleo, la relación intertemporal entre las tasas de interés y

el consumo o la relación entre éste y los precios de los bienes relacionados de un bien, son

algunos de los tantos ejemplos que se encuentran en el análisis empírico en economía. Como

ejemplo concreto, se puede citar la Ley de Okun4, la cual afirma que por cada punto porcentual

que caiga la tasa de desempleo el producto tiende a crecer 3 puntos porcentuales. Esto significa

que existe una relación negativa entre las dos variables y, para contrastar el modelo, se

necesitará utilizar simultáneamente datos de ambas variables.

Para ello, se deben utilizar distribuciones de probabilidad conjuntas o multivariadas5. Se sabe

por nociones básicas de estadística que la función de probabilidad conjunta se puede plantear de

la siguiente forma:

f( y/ x1 , x2 , x3 ) = F ( y/ x1 , x2 , x3 ) * f (x1 , x2 , x3 ) (1.1)

2El coeficiente de correlación entre dos variables aleatorias expresa el grado de dependencia entre el comportamiento

de dichas variables. Formalmente:

( )( )

( , )

x y

Cov Y X

σ σ

ρ =

3 Se debe resaltar que las variables explicativas pueden ser de naturaleza estocástica, pero por simplicidad para el

análisis de regresión se asume que los valores de X no cambian en diversas muestras, es decir son fijos en el muestreo

repetido. De hecho este supuesto deberá imponerse al momento de querer obtener estimados de los verdaderos

parámetros. El problema asociado a la presencia de regresores (variables exógenas) estocásticos, será abordado en

otro capítulo.

4 Se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera: 3( 1) ( 1 )

f

un − u+ = Q+ −Q , donde un y Qf indican que el

producto está en pleno empleo y por tanto la tasa de desempleo (u) es la natural.

5 Son las funciones de probabilidad generadas por el comportamiento aleatorio conjunto de dos o más variables y se

utilizan en el estudio de las relaciones existentes entre éstas.

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Siendo la primera la función de probabilidad condicional y la segunda la marginal. En el

análisis econométrico, y tal como se indicó anteriormente, se busca estimar la distribución

condicional mientras que la marginal no se utilizará, por el momento.

De esta manera, si se tiene la siguiente función conjunta: C = f (r, Yd, w, Yp), ésta nos

indica que el consumo es una función de la tasa de interés, el ingreso disponible, el salario y el

ingreso permanente. La función anterior expresa únicamente una relación matemática, sin

embargo, y tal como se indicó en la introducción del libro, uno de los objetivos de la

econometría es formular un modelo econométrico a partir de un modelo económico, para luego

proceder a la estimación y comprobación del mismo a partir de los datos muestrales. En

consecuencia, se debe transformar la función anterior en un modelo econométrico, por ejemplo

consideremos el siguiente modelo de regresión lineal6:

C = β + β r + β Yd + β w+ β Yp +μ 0 1 2 3 4 (1.2)

donde u es el componente estocástico o aleatorio, que recoge los efectos de variables no

incluidas en el modelo que no afectan de manera sistemática a la variable endógena o explicada

(el consumo). Se supone que u es una variable aleatoria y tiene una distribución de probabilidad

conocida que será materia de estudio en un capítulo posterior. El otro miembro de la ecuación

indica la relación exacta entre la variable explicada (C) y las demás variables llamadas

explicativas, es decir, es el componente determinístico (o predecible) del modelo. Los β son

conocidos como parámetros y recogen los efectos ocasionados por las variaciones de las

variables r, Yd, w, y Yp sobre la variable C que se desea explicar. En términos matemáticos7,

cada parámetro indica la sensibilidad de la variable dependiente ante un cambio unitario en la

variable independiente.

El modelo econométrico especificado en la expresión (1.2), tiene como objetivo estimar el

valor del consumo sobre la base de valores fijos de las variables explicativas, utilizando un

conjunto de datos muestrales. Por tanto, una regresión de C sobre las demás variables se

interpreta como el valor esperado de la distribución de probabilidad de C dado los valores de las

variables r, Yd, w y Yp, es decir, y tal como se dijo en la primera parte de este capítulo, una

regresión puede interpretarse como la media condicional de Y dado X. Formalmente:

E (C /r, Yd, w, Yp ) = f (Xi) (1.3)

Un punto importante que debe notarse es que la estructura de la relación entre la variable

explicada y las variables explicativas se supone que es lineal lo cual puede ser un aproximación

muy gruesa de la realidad porque de hecho muchos eventos o fenómenos que se pretenden

explicar son de naturaleza no lineal. En todo caso el modelo de regresión lineal puede pensarse

como una aproximación lineal de Taylor de un problema no lineal.

1.1.3 Definiciones Básicas

Una vez que hemos entendido el concepto de regresión como la modelación de la media

condicional de una distribución

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