Arquímedes

Arquímedes

Arquímedes de Siracusa (en griego antiguo Ἀρχιμήδης) (c. 287 a. C. – c. 212 a. C.) fue un matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad clásica.

Generalmente, se considera a Arquímedes el más grande matemático de la antigüedad, y uno de los más grandes de la historia.[2] [3] Usó el método de exhausción para calcular el área bajo el arco de una parábola con la sumatoria de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa del número Pi.[4] También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.

Arquímedes murió durante el sitio de Siracusa (214–212 a. C.), cuando fue asesinado por un soldado romano, a pesar de las órdenes de que no debía ser dañado. Cicerón describe haber visitado la tumba de Arquímedes, sobre la que se había colocado una esfera inscrita dentro de un cilindro. Arquímedes probó que la esfera tiene dos tercios de volumen y superficie del cilindro (incluyendo las bases de estos), lo cual consideró el más grande de sus descubrimientos matemáticos.

Arquímedes fue capaz de utilizar los infinitesimales de forma similar al moderno cálculo integral.

A través de la reducción al absurdo (reductio ad absurdum), era capaz de contestar problemas mediante aproximaciones con determinado grado de precisión, especificando los límites entre los cuales se encontraba la respuesta correcta. Esta técnica recibe el nombre de método de exhausción, y fue el sistema que utilizó para aproximar el valor del número π. Para ello, dibujó un polígono regular inscrito y otro circunscrito a una misma circunferencia, de manera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo quedan acotadas por esos mismos valores de las longitudes y las áreas de los dos polígonos. A medida que se incrementa el número de lados del polígono la diferencia se acorta, y se obtiene una aproximación más exacta. Partiendo de polígonos de 96 lados cada uno, Arquímedes calculó que el valor de π debía encontrarse entre 31/7 (aproximadamente 3,1429) y 310/71 (aproximadamente 3,1408), lo cual es consistente con el valor real de π. También demostró que el área del círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio del círculo. En su obra Sobre la Esfera y el Cilindro, Arquímedes postula que cualquier magnitud, sumada a sí misma suficiente número de veces, puede exceder cualquier otra magnitud dada, postulado que es conocido como la propiedad de Arquímedes de los números reales.[38

[pic]

Arquímedes utilizó el método de exhausción para conseguir el valor aproximado del número π.

En su obra sobre la Medición del Círculo, Arquímedes ofrece un intervalo para el valor de la raíz cuadrada de 3 de entre 265/153 (aproximadamente 1,7320261) y 1351/780 (aproximadamente 1,7320512). El valor real se ubica aproximadamente en 1,7320508, por lo que la estimación de Arquímedes resultó ser muy exacta. Sin embargo, introdujo este resultado en su obra sin explicación de qué método había utilizado para obtenerlo.

En su obra sobre La cuadratura de la Parábola, Arquímedes probó que el área definida por una parábola y una línea recta equivalía exactamente a 4/3 el área del correspondiente triángulo inscrito, tal y como se puede observar en la figura de la derecha. Para obtener ese resultado, desarrolló una serie geométrica infinitesimal con una razón común de 1/4:

[pic]

El primer término de esta suma equivale al área del triángulo, el segundo sería la suma de las áreas de los dos triángulos inscritos en las dos áreas delimitadas por el triángulo y la parábola, y así sucesivamente. Esta prueba utiliza una variación de la serie infinitesimal 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 +..., cuya suma se demuestra que equivale a 1/3.

[pic]

Arquímedes demostró que el área del segmento parabólico de la figura superior es igual a 4/3 de la del triángulo inscrito de la figura inferior.

Arquímedes usa los principios derivados para calcular las áreas y los centros de gravedad de varias figuras geométricas, incluyendo triángulos, paralelogramos y parábolas.[]

• Sobre la medida de un círculo

Esta es una obra corta, consistente en tres proposiciones. Está escrito en forma de una carta a Dositeo de Pelusio, quien fue un estudiante de Conon de Samos. En la proposición II, Arquímedes muestra que el valor de π (pi.) es mayor que 223/71 y menor que 22/7. Esta cifra fue usada como una aproximación de π a través de la Edad Media y aún hoy es usada cuando se requiere de una cifra cercana.

• Sobre las espirales

Esta obra de 28 proposiciones también está dirigida a Dositeo. El tratado define lo que hoy se conoce como la espiral de Arquímedes. Este es el lugar geométrico de los puntos correspondientes a las posiciones de un punto, a través del tiempo, que es movido hacia afuera desde un punto fijo con una velocidad constante junto con una línea que rota con una velocidad angular constante. Equivalentemente, en coordenadas polares, (r, θ) puede ser descrito por la ecuación

[pic]

Con a y b como números reales. Este es un ejemplo temprano de la curva mecánica una curva trazada por un punto) considerado por un matemático griego.

• Sobre la esfera y el cilindro (dos volúmenes)

En este tratado, dirigido a Dositeo, Arquímedes llega a la conclusión de la que estaría más orgulloso, esto es, la relación entre una esfera y un cilindro circunscrito con la misma altura y diámetro. El volumen es [pic]para la esfera, y 2πr3 para el cilindro. El área de la superficie es 4πr2 para la esfera, y 6πr2 para el cilindro (incluyendo sus dos bases), donde r es el radio de la esfera y del cilindro. La esfera tiene un área y un volumen equivalentes a dos tercios de los del cilindro. A pedido del propio Arquímedes, se colocaron sobre su tumba las esculturas de estos dos cuerpos geométricos.

• Sobre los conoides y esferoides

Este es un trabajo en 32 proposiciones dirigido a Dositeo. En este tratado, Arquímedes calcula las áreas y los volúmenes de las secciones de cono (geometría)s, esferas y paraboloides.

•

...