Distribución Muestral de la Media

Distribución Muestral de la Media

La media y la varianza de medias muestrales

En esta parte del curso de estadística se trabajara con muestras con tamaño igual a “n” observaciones de una población con media µ y varianza σ2. Antes de analizada la muestra presentara incertidumbre sobre los resultados obtenidos referentes al parámetro analizado. Esta incertidumbre se debe a que cada una de las observaciones de la muestra es una variable aleatoria con media µ y varianza σ2. Nuestro principal objetivo es analizar la distribución muestral de la media muestral ¯X. Para lograr nuestro objetivo primeramente debemos determinar la media µ_¯X y la varianza σ_¯X^2 de esta distribución. La respectiva desviación estándar σ_¯X se conoce como Error Estándar de ¯X.

Ejemplos:

Supongamos que el incremento porcentual de los salarios de los funcionarios de todas las PIMES en una ciudad se distribuyen normalmente con una media de 12,2% y desviación estándar de 3,6%. Si se toma una muestra aleatoria de 9 observaciones de esta población según los incrementos porcentuales de salario, ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor del 10%?

Solución:

µ = 12,2 σ=3,6 y n = 9. Nos piden calcular P(¯X >10). Como se desconoce el tamaño de la población, se supondrá que la misma es infinita. Entonces, según lo mostrado en el Cuadro 1, la media y el error estándar de la distribución muestral de ¯X son:

µ_¯X=µ=12,2 y σ_¯X= □(σ/√n)=1,2

Por ende, la probabilidad requerida es:

P(¯X>10) = P (□( (¯X- µ_¯X)/σ_¯X > (10- µ_¯X)/σ_¯X ))=P(Z> □( (10- µ_¯X)/σ_¯X ))= P(Z> □( (10- 12,2)/1,2))=

P(Z> -1,83)= 1-P(Z ≤ -1,83)

Como la población posee una distribución normal y la varianza poblacional es conocida, entonces, de acuerdo a lo mencionado en la introducción del tema, la distribución muestral de la media muestral es normal o, lo que es equivalente, la variable Z es normal estándar. Por lo tanto, teniendo ɸ es la función de distribución normal estándar, entonces, de la tabla normal, tenemos que:

P (¯X>10) = 1-P(Z ≤ -1,83) = 1 - ɸ(-1,83) = 1 - 0,0336=0,9664

Se concluye, que la probabilidad de que la media muestral sea mayor del 10% es de 96,64%.

Un fabricante declara que la duración de las llantas que él fabrica sigue una distribución normal con una media de 36.000 kilómetros y una desviación estándar de 4.000 kilómetros. Para una muestra aleatoria de dieciséis llantas, se obtuvo una duración media 34.500 kilómetros. Si la afirmación

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