El Perro

90 y 0.99).

Dada la distribución del estadístico y el nivel de confianza , se tiene la siguiente igualdad probabilística:

La expresión anterior es equivalente a:

que hace referencia a que con una probabilidad 1- α el intervalo aleatorio

contendrá el valor medio μ . El intervalo es aleatorio ya que sus extremos se determinan a partir de los estimadores media muestral y desviación típica muestral, tratándose de variables aleatorias. La probabilidad a que se refiere dicho intervalo aleatorio, puede interpretarse de manera informal pero quizás más clara:

"Si consideramos todas las muestras distintas de tamaño n que puedan ser extraídas de la población X , y con las observaciones de cada una construimos los correspondientes intervalos, según la estructura anterior, el (1- α)% de estos intervalos contendrán el parámetro μ "

Por tanto, si extraemos una muestra de tamaño n y con los datos u observaciones, x1, x2 ,..., xn , calculamos los extremos del intervalo, dispondremos del concreto intervalo de confianza para el parámetro μ

que, en función de la interpretación informal anterior, contendrá dicho parámetro con una confianza (1- α).

6. Intervalo de confianza para la media en caso de muestras pequeña

Cuando n es pequeña y la proporción desconocida P se considera cercana a 0 ó a 1, el procedimiento del intervalo de confianza que se establece aquí no es confiable, por tanto, no se debe utilizar. Para estar seguros, se debe requerir que np ó n(1-p) sea mayor o igual a 5. El error de estimación será la diferencia absoluta entre p y P, y podemos tener el nivel de confianza de que esta diferencia no excederá el valor de p(1 − p ) z n

Ejemplos: 1. Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasarían todas las pruebas. Solución: 0.03(1 − 0.03) P = 0.03 ± 1.645 n=500 500 p = 15/500 = 0.03 El intervalo buscado es z(0.90) = ±1.645 0.0237 < P < 0.0376 Lo que queremos es que el área en azul sea 0.90 El área en la tabla para z = -1.645 nos da 0.04998 (o sea un área de ~ 0.05 a cada lado, o de 0.10 para las 2 áreas en blanco).

7. Intervalo de confianza para la proporción poblacional

En este caso, interesa construir un intervalo de confianza para una proporción o un porcentaje poblacional (por ejemplo, el porcentaje de personas con hipertensión, fumadoras, etc.)

Si el tamaño muestral n es grande, el Teorema Central del Límite nos asegura que:

O bien:

Donde p es el porcentaje de personas con la característica de interés en la población (o sea, es el parámetro de interés) y p es su estimador muestral.

Luego, procediendo en forma análoga al caso de la media, podemos construir un intervalo de 95% de confianza para la proporción poblacional p.

Ejemplo:

En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412 mujeres mayores de 15 años en la Región Metropolitana, se encontró que el 17.6% eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la proporción de mujeres hipertensas en la Región Metropolitana está dado por:

Luego, la proporción de hipertensas varía entre (0,139 , 0,212)

...