Circuito avanzados

ORTOGONALIDAD

• Carrasco Raya Manuel
• Mexicano Sangrador Uriel
• Ramírez Galindo Ángel
• Rueda Galicia Jesús

1TM7

DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS

DEFINICIÓN:

Una matriz cuadrada es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D tales que [pic 1]

• TEOREMA 1:
  Si A es diagonalizable ortogonalmente, entonces A es simétrica.

DEMOSTRACIÓN:

Si A es diagonalizable ortogonalmente, entonces existe una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D tales que .[pic 2]

Dado que  se tiene que , de modo que [pic 3][pic 4]

[pic 5]

Pero entonces

[pic 6]

Pues toda matriz diagonal es simétrica. En consecuencia, A es simétrica.

• TEOREMA 2:
  Si A es una matriz simétrica, entonces cualesquiera dos eigenvectores  correspondientes a distintos eigenvalores de A son ortogonales.

DEMOSTRACIÓN:

A=[pic 7]

El polinomio característico es -4 de donde se tiene que .[pic 8][pic 9]

                 [pic 10][pic 11]

Fácilmente se verifica que:

[pic 12]

[pic 13]

• TEOREMA ESPECTRAL
  Sea A una matriz real de n x n. Entonces A es simétrica si y solo si es diagonalizable de forma ortogonal.

El teorema espectral permite escribir una matriz simétrica real A en la forma , donde Q es ortogonal y D es diagonal. [pic 14]

Al usar  la representación columna-renglón del producto se tiene:

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

A esto se le conoce como descomposición espectral.

• EJERCICIO 1

Diagonalize ortogonalmente la matriz .[pic 18]

La matriz A tiene los siguientes eigenespacios:

                 [pic 19][pic 20]

Se aplica el proceso de Gram-Schmidt a  y a .[pic 21][pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

EJERCICIO 2

Encuentre la descomposición espectral de la matriz A del ejercicio anterior.

[pic 29]

[pic 30]

 [pic 31]

[pic 32]

+[pic 33][pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

Formas Cuadráticas

Una expresión de la forma:

[pic 37]

Se llama Forma cuadrática en x y y; de igual modo:

[pic 38]

Es una Forma cuadrática en x, y y z.

Una Forma cuadrática con n variables es una función

f : Rn → R de la forma:

[pic 39]

Donde Q es una matriz simétrica de n x n y x está en Rn. Q se conoce como matriz asociada con f.

[pic 40]

Definición

Una forma cuadrática  [pic 41] se clasifica como una de las siguientes:

1. Definida positiva si f(x) > 0 para toda x ≠ 0
2. Semidefinida positiva si f(x) ≥ 0 para toda x
3. Definida negativa si f(x) < 0 para toda x ≠ 0
4. Semidefinida negativa si f(x) ≤ 0 para toda x
5. Indefinida si f(x) toma valores tanto positivos como negativos

Teorema:

Sea Q una matriz simétrica de n x n. La forma cuadrática  [pic 42] es:

1. Positiva definida si y sólo si todos los eigenvalores de Q son positivos.
2. Semidefinida positiva si y sólo si todos los eigenvalores de Q son no negativos.
3. Definida negativa si y sólo si todos los eigenvalores de Q son negativos.
4. Semidefinida negativa si y sólo si todos los eigenvalores de Q son no positivos.
5. Indefinida si y sólo si Q tiene eigenvalores tanto positivos como negativos.

Ejemplo:

Obtener la expresión matricial y una forma diagonal de la siguiente forma cuadrática.

[pic 43]

Solución.

La expresión matricial es: [pic 44]

Para obtener le expresión diagonal podemos usar el método de Jacobi o los autovalores:

tiene como solución [pic 45][pic 46]

Por lo que una expresión diagonal será: [pic 47]

Ejemplo:

Clasifique las funciones.

...