Circuito avanzados
Enviado por ruedgal • 10 de Octubre de 2015 • Resúmenes • 612 Palabras (3 Páginas) • 152 Visitas
ORTOGONALIDAD
- Carrasco Raya Manuel
- Mexicano Sangrador Uriel
- Ramírez Galindo Ángel
- Rueda Galicia Jesús
1TM7
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS
DEFINICIÓN:
Una matriz cuadrada es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D tales que [pic 1]
- TEOREMA 1:
Si A es diagonalizable ortogonalmente, entonces A es simétrica.
DEMOSTRACIÓN:
Si A es diagonalizable ortogonalmente, entonces existe una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D tales que .[pic 2]
Dado que se tiene que , de modo que [pic 3][pic 4]
[pic 5]
Pero entonces
[pic 6]
Pues toda matriz diagonal es simétrica. En consecuencia, A es simétrica.
- TEOREMA 2:
Si A es una matriz simétrica, entonces cualesquiera dos eigenvectores correspondientes a distintos eigenvalores de A son ortogonales.
DEMOSTRACIÓN:
A=[pic 7]
El polinomio característico es -4 de donde se tiene que .[pic 8][pic 9]
[pic 10][pic 11]
Fácilmente se verifica que:
[pic 12]
[pic 13]
- TEOREMA ESPECTRAL
Sea A una matriz real de n x n. Entonces A es simétrica si y solo si es diagonalizable de forma ortogonal.
El teorema espectral permite escribir una matriz simétrica real A en la forma , donde Q es ortogonal y D es diagonal. [pic 14]
Al usar la representación columna-renglón del producto se tiene:
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
A esto se le conoce como descomposición espectral.
- EJERCICIO 1
Diagonalize ortogonalmente la matriz .[pic 18]
La matriz A tiene los siguientes eigenespacios:
[pic 19][pic 20]
Se aplica el proceso de Gram-Schmidt a y a .[pic 21][pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
EJERCICIO 2
Encuentre la descomposición espectral de la matriz A del ejercicio anterior.
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
+[pic 33][pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
Formas Cuadráticas
Una expresión de la forma:
[pic 37]
Se llama Forma cuadrática en x y y; de igual modo:
[pic 38]
Es una Forma cuadrática en x, y y z.
Una Forma cuadrática con n variables es una función
f : Rn → R de la forma:
[pic 39]
Donde Q es una matriz simétrica de n x n y x está en Rn. Q se conoce como matriz asociada con f.
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