Factorizacion

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA Y FACTOR COMÚN

Analizando con detalles la propiedad distributiva doble, triple o de cualquier tipo. Conoceremos el primer caso de factores: factor común.

I. FACTOR COMÚN

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos

Ab+ac+ad= a(b+c+d)

Ax+bx+ay+by=(a+b)(x+y)

Factor común polinomio primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar. Ejemplo:

Ab-bc=b(a-c)

a. (3a2-a)=a(3a-1)

b. Ab+bc= b(a+c)

c. 4x4-2x2+8x=2x(2x3-x+4)

d. 5m2+15m3=5m2(1+3m)

II. FACTOR COMUN POR AGRUPACION

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos. Se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifican por que es un número par de términos para resolverlo se agrupan cada una de las características y se aplica el primer caso, es decir:

Ab+ac+bd-dc=(ab+ac)+(bd+dc)=a(b+c)+d(b+c)=(a+d)(b+c)

a. 3a2-6ab+4ª-8b=(3a2-6ab)+(4ª-8b)

b. 3a(a-2b)+4(a-2b)=(3a+4)(a-2b)

c. 2m2-3mn-4m+6n=(2m2 -4m)(3mn-6n)=2m(m-2)-3n(m-2)=(2m-3n)(m-2)

d. 4a3-1-a2-4a=(-1-4a)+(4a3-a2)=-1(4a-1)+a2(4a-1)=(-1+a2)(4a-1)

e. Ax-2bx-2ay+4by=(ax-2ay)-(2bx+4by)=a(x-2y)-2b(x-2y)=(a-2b)(x-2y)

III. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble productos de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extremos la raíz cuadrada del primero y tercer términos y los escribo en un paréntesis separándolas por el signo que acompaña al segundo termino, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio todo el binomio al cuadrado ejemplo.

a2+2ab+b2=(a+b)2

a. x2-6x+9=(x-3)2

b. a4-a2b2+1/4b4=( a2-1/2b2)2

c. 9b2-30a2b+25a4=(3b-5a2)2

IV. DIFERENCIA DE CUADRADO

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se reside por medio de dos paréntesis, (parecidos a los productos de la forma) y otro negativo en los paréntesis debe colocarse las raíces.

a. a2-1=(a+1)(a-1)

b. 16-n2=(4+n)(4-n)

c. 1-49a2b6=(1+7ab3)(1-7ab3)

d. a2b24c4=[(ab)+2c2][(ab)-2c2]

CASO ESPECIAL III,IV.

a. a2+2ab+b2-x2=( a2+2ab+b2)-(x2)=[(a+b)+x][(a+b)-x]

b. m2-2mn+n2-1=( m2-2mn+n2)-1=[(m-n)+1][(m-n)-1]

c. m2-x2-2xy-y2=m2-( x2+2xy+y2)=[m+(x+y)][m-(x+y)]

d. 9-n2-25-10n=9-(n2+10n+25)=[3+8n+5) ][3-(n+5)]

V. TRINOMIO, SUSTRACIÒN Y ADICIÒN

Se identifica por tener 3 términos, dos de ellos son cuadrado perfectos, el restante hay que complementarlo mediante la suma para que sea el doble producto de dos raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie para solucionarlos, se usan como ayuda los casos III y IV. Para moldar debe saber el coseno de la raíz de la suma de los dos polinomio por que multiplicando sale igual a la raíz de dos.

Se identifica por tener tres términos, hay que literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el termino independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis. En los cuales se colocan las raíces cuadradas de la variable cuando dos números que multiplicando den como resultado el término independiente y sumando (pudiendo ser número negativo) den como resultado el término del medio. Por ejemplo:

A2 +2a-15=(a+5)(a-3)

a. X4+4x2y2+16y4= X4+4x2y2+16y4-4x2y2=( X4+8x2y2+16y4)-4x2y2=( X2+4y2)2-4x2y2

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