FACTORIZACION

PLANIFICACIÓN DE LA CLASE

TEMA: “Cálculo de las raíces de un polinomio: Factorización”

Tener en cuenta que los alumnos ya saben ecuación de segundo grado y polinomios. Esta etapa es la culminación de Factoreo.

EJE: Álgebra y Geometría

CURSO: Primer Año de Polimodal

Factorización

CONOCIMIENTOS PREVIOS:

 CONTENIDOS CONCEPTUALES

• Polinomios

• Ecuación de segundo grado

 CONTENIDOS PROCEDIMENTALES

• Utilización de la regla de Ruffini para dividir polinomios por (x-a)

• Deducción de la fórmula resolvente de una ecuación de segundo grado.

• Cálculo de raíces (reales) de una ecuación de segundo grado.

• Factorización de polinomios de segundo grado (raíces reales)

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EXPECTATIVAS DE LOGRO:

Que los alumnos sean capaces de:

 Distinguir cada caso de factoreo

 Decidir de manera correcta y de la forma más eficiente, cuál es el caso de factoreo que deben aplicar; y que lo sepan aplicar.

 Identificar si un polinomio es primo o compuesto

 Justificar cada paso que realizan, cuando se encuentren frente a un ejercicio en el cual deban aplicar más de un caso de factoreo

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ORGANIZACIÓN DE LA CLASE

Como los alumnos, se supone, que ya vieron los casos de factoreo, nosotras nos limitaríamos simplemente a recordar como funcionaban estos casos, mediante un ejemplo, de esta manera, nuestro objetivo sería refrescar los conocimientos ya vistos, con el objeto de interiorizar a los alumnos en el tema y así poder lograr una completa aplicación de cada uno de ellos.

Nuestra meta es que los alumnos puedan comprender a fondo el tema, que puedan, frente a un polinomio , de una o más variables, saber por donde empezar, qué propiedad aplicar, y así poder lograr la factorización de un polinomio compuesto en un producto de polinomios primos. La idea es dejar esto muy claro, para que los alumnos no tengan demasiadas dudas cuando se enfrenten al ejercicio.

Nosotras desarrollaríamos una clase global e integradora, a partir de conocimientos ya vistos con anterioridad.

Nuestra intención sería explicar ejercicios, lo más completos posibles, en el pizarrón, luego dejaríamos ejercitación para que los alumnos realicen de tarea; y la corrección de los mismos se realizaría la clase siguiente en el pizarrón, pero en esta oportunidad haríamos que los alumnos pasen al frente y expliquen como resolvieron el ejercicio y qué propiedades aplicaron en cada uno de ellos.

De esta manera lograríamos que los alumnos participen de la clase, y además también puede surgir que para un mismo ejercicio haya alumnos que lo resolvieron de distinta manera, y ambos resultados son correctos.

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Recuerdo de los casos de factoreo, mediante un ejemplo de cada uno de ellos:

A continuación detallamos en qué consiste cada uno de los casos, pero sin embargo, en la clase no lo vamos a hacer, ya que con el ejemplo es suficiente para que los alumnos recuerden cada uno

 FACTOR COMÚN

Procedimiento:

1° Paso: Buscamos el factor común (que debe ser el mayor posible)

2° Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.

Ejemplos:

1)

2)

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 FACTOR COMÚN POR GRUPOS

Se aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus términos.

Procedimiento

1° Paso: Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común, se sustrae dicho factor común en cada uno de los grupos.

2° Paso: Debe quedar un paréntesis común.

3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común.

Ejemplos:

1)

2)

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 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Recuerdo: “Cuadrado de un Binomio”

Procedimiento:

1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.

Y calculo sus raíces cuadradas, dichas raíces serán las bases.

2° Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado,

3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases.

OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES:

• Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es positivo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo.

• Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es negativo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos.

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Ejemplos:

1)

2)

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 CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

Recuerdo: “Cubo de un Binomio”

Procedimiento:

1°Paso: Se reconocen los cubos perfectos

Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las bases.

2° Paso:

Luego calculo:

• el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda

• el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda

Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado,

3° Paso: Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases.

OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE:

Las bases que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo.

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Ejemplos:

1)

2)

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 DIFERENCIA DE CUADRADOS

Recuerdo: Producto de Binomios Conjugados

Procedimiento:

1° Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos.

2° Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)

3° Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichas bases.

Ejemplos:

1)

2)

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 DIVISIBILIDAD

Este caso consiste en hallar los divisores del polinomio dado. Esto lo efectuamos mediante la siguiente propiedad.

“Si un número a es raíz de un polinomio P(x), dicho polinomio es divisible por (x-a), es decir que, al dividir P(x) por (x-a), el resto de la división es cero”

Por el teorema del resto tenemos que: P(a)=0

En símbolos:

P(x) (x-a)

0 C(x)

Cálculo de las raíces de un polinomio:

• Para calcular la raíces de un polinomio en el cual figura una sola incógnita, elevada a una potencia, podemos calcular su raíz igualando a cero y resolviendo esa ecuación.

• Cuando tenemos un polinomio de grado dos, donde aparece la incógnita dos veces (una elevada al cuadrado y otra con exponente 1, podemos calcular sus raíces aplicando la resolvente.

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En este caso hay que tener en cuenta que los alumnos ya saben factorizar un polinomio de este tipo.

Entonces:

• Ahora si nos encontramos con un polinomio de grado mayor que dos, y la incógnita aparece más de una vez, podemos calcular sus raíces mediante el Teorema

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