Teorema De Moivre

TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÒN DE UN NUMERO COMPLEJO

Teorema de De Moivre

Fórmula para calcular las potencias zn de un número complejo z. El teorema de De Moivre establece que si un número complejo z = r(cos x + i sin x), entonces zn = rn(cos nx + i sin nx), en donde n puede ser enteros positivos, enteros negativos, y exponentes fraccionarios.

Teoría de moivre

Un resultado importante utilizando definición de coordenadas polares es:

Teorema de Moivre: Sean dos números complejos:

Teorema de Moivre y raíces n-esimas de numeros complejos

si "z" es un numero complejo y "n" es un numero entero positivo, entonces un numero complejo w es una raiz n-esima de "z" si w^n=z demostramos qu etodo numero complejo diferente de cero tiene n raices n-esima diferentes. como los números reales esta contenidos en los numeros complejos, se deduce que todo numero real diferente de cero tiene n raices n-esima distintas (complejas). cuando "a" es un numero real positivo y n=2 sabemos que son a^1/2 y -(a^1/2).

si en el teorema sobre productos y cocientes de numeros complejos hacemos z1 y z2 sean iguales al numero complejo

z=r(cos@+isen@) obtenemos.

z^2=(r)(r(cos(@+@)+i(sen(@+@)))

=r^2(cos2@+isen2@)

si se aplica el teorema z^2 y z resultara

z^2(z)=(r^2(r))(cos(2@+@)+i(sen(2@+@))…

z^3=r^3(cos3@+i(sen3@))

APLICASIONES.

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar.

Potencia

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

Raices

Para obtener las n raíces de un número complejo, se aplica:

donde k es un número entero que va desde 0 hasta n − 1, que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las n raíces diferentes de z

La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

Abraham

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