Teorema De Moivre

Teorema de De Moivre

Fórmula para calcular las potencias zn de un número complejo z.

El teorema de De Moivre establece que si un número

complejo z = r(cos x + i sin x), entonces zn = rn(cos nx + i sin nx),

en donde n puede ser enteros positivos,

enteros negativos, y exponentes

fraccionarios.

Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

Potencia.

Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima, bastará con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:

zn = z•z•..(n veces)..•z = (rx)•(rx)•..(n veces)..•(rx) = (r•r•..(n veces)..•r)x+x+..(n veces)..+x = (rn)n•x

Es decir,

(rx)n = (rn)n•x

Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos:

z = r•(cos x + i•sen x) ==> zn = rn•(cos x + i•sen x)n = rn•(cos n•x + i•sen n•x)

De donde:

cos(n•x) + i•sen(n•x) = (cos x + i•sen x)n

expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre.

Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.

Ejemplo:

Conocidos cos x y sen x , calculemos cos 4x y sen 4x :

cos 4x + i•sen 4x = (cos x + i•sen x)4 = (40)•cos4x + (41)•cos3x•i•sen x + (42)•cos2x•i2•sen2x + (43)•cos x•i3•sen3x + (44)i4•sen4x = cos4x + 4•i•cos3x•sen x - 6•cos2x•sen2x - 4•i•cos x•sen3x + sen4x = (cos4x - 6•cos2•sen2x + sen4x) + (4•cos3x•sen x - 4•cos x•sen3x)•i

Como dos complejos son iguales si y sólo si lo son sus partes reales así como sus partes imaginarias, tenemos que:

cos 4x = cos4x - 6•cos2x•sen2x + sen4x

sen 4x = 4•cos3x•sen x - 4•cos x•sen3x

Para cualquier complejo, tenemos

z = x + i y

Si pasamos a coordenadas polares

z = r cos(a) + i r sen(a) ó z = r (cos(a) + i sen(a))

donde:

r: distancia al origen (positiva ó nula)

a: ángulo medido en sentido anti horario desde el eje x positivo (entre 0 y 2 pi rad)

El teorema de De-Moivre nos indica que (cos(u) + i sen(u) )^n = cos(n*u) + i sen(n*u)

Supongamos que la raíz de z^2 - 8 = 0 (incógnita compleja) esté en su forma polar

z = r (cos(a) + i sen(a)) Entonces z^2 = r^2 (cos(a) + i sen(a))^2

Por De-Moivre

z^2 = r^2 (cos(2a) + i sen(2a)) ó z^2 = r^2 cos(2a) + i r^2 sen(2a)

Según la ecuación original z^2 = 8 es decir r^2 cos(2a) + i r^2 sen(2a) = 8

Igualamos la parte real e imaginaria

1) r^2 cos(2a) = 8

2) r^2 sen(2a) = 0

El número r sólo se anula para el complejo z = 0

Eso significa que deducimos de 2) en(2a) = 0

Esto se da para 2a = 0 2a = 180° 2a = 360° 2a = 540° 2a = 720° etc.

Obsérvese que consideramos hasta 720° porque tenemos ángulo doble y la mitad de 720° nos da 360°

Deducimos posibles valores de a

a = 0°

a = 90°

a = 180°

a = 270°

a = 360°

etc..

Ahora, remplazamos en la ecuación 1) y debemos tener resultados válidos para r (número positivo, nulo sólo para z=0)

1) r^2 cos(2a) = 0

a = 0°

r^2 cos(0°) = 8 ---> r^2 = 8 ---> r = √8

a = 90°

r^2 cos(180°) = 8 ---> -r^2 = 8-->r^2 = -8 ---->Valor de a NO VALIDO

a = 180°

r^2 cos(360°) = 8 ---> r^2 = 8 ---> r = √8

a = 270°

r^2 cos(540°) = 8 ---> -r^2 = 8-->r^2 = -8 ---->Valor de a NO VALIDO

a = 360°

r^2 cos(720°) = 8 ---> r^2 = 8 ---> r = √8 etc..

Los complejos

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