El teorema de Moivre

El teorema de Moivre aplica procesos fundamentales de álgebra, como las potencias y la extracción de raíces en números complejos. El teorema fue enunciado por el reconocido matemático francés Abraham de Moivre (1730), quien asoció los números complejos con la trigonometría.

Abraham Moivre realizó esta asociación por medio de las expresiones del seno y coseno. Este matemático generó una especie de fórmula a través de la cual es posible elevar un número complejo z a la potencia n, que se trata de un número entero positivo mayor o igual 1.

¿En qué consiste el teorema de Moivre?

El teorema de Moivre establece lo siguiente:

Si se tiene un número complejo en la forma polar z = rƟ, donde r es el módulo del número complejo z, y el ángulo Ɵ es llamado amplitud o argumento de cualquier número complejo con  0 ≤ Ɵ ≤ 2π, para calcular su n–ésima potencia no será necesario multiplicarlo por sí mismo n-veces; es decir, no es necesario realizar el siguiente producto:

Zn = z * z * z*. . .* z = rƟ * rƟ * rƟ *. . .* rƟ   n-veces.

Por el contario, el teorema dice que, al escribir z en su forma trigonométrica, para calcular la n-ésima potencia se procede de la siguiente forma:

Si z = r (cos Ɵ + i * sen Ɵ) entonces zn = rn (cos n*Ɵ + i * sen n*Ɵ).

Por ejemplo, si n = 2, entonces   z2 = r2[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)]. Si se tiene que n = 3, entonces   z3 = z2 * z. Además:

z3 = r2[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] * r [cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] = r3[cos 3(Ɵ) + i sen 3 (Ɵ)].

De esa manera pueden obtenerse las razones trigonométricas del seno y coseno para múltiplos de un ángulo, siempre y cuando las razones trigonométricas del ángulo sean conocidas.

De igual manera puede ser utilizada para encontrar expresiones más precisas y menos confusas para la n -ésima raíz de un número complejo z, de modo que zn = 1.

Para demostrar el teorema de Moivre se usa el principio de inducción matemática: si un número entero “a” tiene una propiedad “P”, y si para cualquier número entero “n” mayor que “a” que tenga la propiedad “P” se cumple que n + 1 también tiene la propiedad “P”, entonces todos los números enteros mayores o iguales que “a” tienen la propiedad “P”.

Demostración

De esa forma, la demostración del teorema se hace con los siguientes pasos:

Base inductiva

Primero se comprueba para n = 1.

Como z1 = (r(cos Ɵ + i * sen  Ɵ))1 = r1 (cos Ɵ + i * sen  Ɵ)1 = r1 [cos (1* Ɵ) + i * sen (1*Ɵ)], se tiene que para n=1 se cumple el teorema.

Hipótesis inductiva

Se supone que la fórmula es cierta para algún entero positivo, es decir, n = k.

zk = (r (cos Ɵ + i * sen  Ɵ))k  = rk (cos k Ɵ + i * sen k Ɵ).

Comprobación

Se prueba que es cierta para n = k + 1.

Como zk+1= zk * z, entonces zk+1 = (r(cos Ɵ + i * sen  Ɵ))k+1 = rk (cos kƟ + i * sen kƟ) *  r (cos Ɵ + i* senƟ).

Luego se multiplican las expresiones:

zk+1 = rk+1( (cos kƟ)*(cosƟ) + (cos kƟ)*(i*senƟ) + (i * sen kƟ)*(cosƟ) + (i * sen kƟ)*(i*senƟ)).

Por un momento se ignora el factor rk+1,  y se saca factor común i:

(cos kƟ)*(cosƟ) + i(cos kƟ)*(senƟ) + i( sen kƟ)*(cosƟ) + i2( sen kƟ)*(senƟ).

Como i2 = -1, lo sustituimos en la expresión y se obtiene:

(cos kƟ)*(cosƟ) + i(cos kƟ)*(senƟ) + i( sen kƟ)*(cosƟ) – ( sen kƟ)*(senƟ).

Ahora se ordena la parte real y la imaginaria:

(cos kƟ)*(cosƟ) – ( sen kƟ)*(senƟ) + i[( sen kƟ)*(cosƟ) + (cos kƟ)*(senƟ)].

Para simplificar la expresión se aplican las identidades trigonométricas de suma de ángulos para el coseno y seno, que son:

cos (A+B) = cos A * cos B – sen A * sen B.

sen (A+B) = sen A * cos B –  cos A * cos B.

En este caso, las variables son los ángulos Ɵ y kƟ. Aplicando las identidades trigonométricas, se tiene:

cos kƟ * cosƟ –  sen kƟ * senƟ = cos(kƟ + Ɵ)

sen kƟ * cosƟ + cos kƟ * senƟ = sen(kƟ + Ɵ)

De esa forma, la expresión queda:

zk+1 = rk+1 (cos(kƟ + Ɵ) + i * sen(kƟ + Ɵ))

zk+1 = rk+1(cos [(k +1) Ɵ] + i * sen[(k +1) Ɵ]).

Así pudo demostrarse que el resultado es verdadero para n = k+1. Por el principio de inducción matemática, se concluye que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos; es decir, n ≥ 1.

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