TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO4

CONTENIDO

1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.        

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS.        

1.3 POTENCIAS DE “i”, MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO.        

1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO.        

1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO.        

1.6 ECUACIONES POLINÓMICAS.        

1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.

        El origen de los números complejos surgió en el Siglo XVII, a causa de la necesidad de realizar cálculos para obtener el valor de la raíz cuadrada de un número negativo. El matemático suizo Leonhard Euler introdujo el símbolo “” (de “imaginario”) para representar a los números imaginarios, adoptándose tiempo más tarde éste símbolo de manera general, el cual representa la raíz cuadrada de uno negativo.[pic 1]

Para obtener las raíces de un polinomio de la forma:

[pic 2]

Empleamos la formula general:

[pic 3]

Donde sabemos que si:

1. ; Obtendremos dos raíces reales.[pic 4]

1.  El resultado será una sola raíz cuyo valor estará dado por .[pic 5][pic 6]

1. Sin embargo, para el caso  El resultado será indeterminado, pues no se puede obtener una raíz cuadrada de un número negativo. [pic 7]

Para éste último caso, se emplean los números imaginarios, con el objetivo de obtener una solución a dicho problema.

De tal manera que para obtener las raíces de la ecuación, en el caso 3, desarrollamos la formula general de la siguiente manera;

[pic 8]

Y sabiendo que ;[pic 9]

[pic 10]

Donde   es la parte real Re , y  es la parte imaginaria Im . Así, resolviendo la ecuación, obtenemos un número complejo, pues un número complejo es una expresión de la forma:[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

[pic 15]

La cual contiene dos números Reales  y , y se compone de una parte real Re , representada por  y una parte imaginaria Im , representada por . Y comprobamos que se cumple .[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

Ejemplo 1: Obtenga las raíces de:  [pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

                        [pic 27][pic 28]

Ejemplo 2: Obtenga las raíces de: [pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

Así obtenemos;                           y                 [pic 33][pic 34]

Donde 2 es la parte real de  y  . Por su parte,  y  son la parte imaginaria de  y   respectivamente.[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS.

Los números complejos pueden sumarse, restarse y multiplicarse siguiendo las reglas normales de álgebra, sin embargo, para la división será necesario utilizar el conjugado, el cual, si , el conjugado de  se representará por , para lo cual lo expresaremos como: [pic 41][pic 42][pic 43]

[pic 44]

        Los números complejos se pueden representar en un plano cartesiano, que para los número complejos recibe el nombre de plano complejo. Donde la parte real Re , es decir , se graficará en el eje y la parte Im , o bien , se graficará sobre el eje . De ésta manera, sabemos que el conjugado  no es más que el reflejo de , respecto al eje .[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

Ejemplo 3: Determine el conjugado de: a) , b) , c) , d) .[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

1. Si , entonces; [pic 58][pic 59]

1. Si , entonces; [pic 60][pic 61]

1. Si , entonces; . Nótese que en éste caso,  es solamente un número real.[pic 62][pic 63][pic 64]

1. Si , entonces; . Para éste caso,  solamente es un número imaginario.[pic 65][pic 66][pic 67]

Ejemplo 4: Si  y , Calcule a) ; b) .[pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]

1. [pic 72]

1. [pic 73]

Ejemplo 5: Si  y , Calcule a); b).[pic 74][pic 75][pic 76][pic 77]

1. [pic 78]

1.          [pic 79]

Tomando en cuenta que ;[pic 80]

.[pic 81]

Ejemplo 6: Si  y , Calcule .[pic 82][pic 83][pic 84]

[pic 85]

Sabiendo que el conjugado del denominador es , y que , multiplicamos por la unidad, para no alterar la ecuación;[pic 86][pic 87]

[pic 88]

Si observamos el denominador, tenemos una multiplicación de binomios conjugados, de manera que ;[pic 89]

[pic 90]

Y como , sustituimos en la ecuación;[pic 91]

[pic 92]

1.3 POTENCIAS DE “i”, MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO.

        Cuando elevamos a una potencia la parte imaginaria “i”, podemos identificar un resultado que sigue un patrón de la siguiente manera:

⁞

[pic 93]

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[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

[pic 102]

[pic 103]

⁞

        En base a ésta observación, sabemos que al final de una ecuación siempre lograremos obtener  o bien, 1; ya sea con signo positivo o negativo.[pic 104]

        Si observamos un número complejo, representado de manera gráfica, podremos definir al valor absoluto de  como , pues no es más que la magnitud de , o dicho de otra forma, la distancia  desde el origen, hasta . Así, .[pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110]

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