Calculo Integral

Ejemplos

Formar la serie de Taylor que aproxima a f(x)= in x para x cercana a=1

f(x)=in x=0,f´(x)=1/x=1,f´´(x)=-x^(-2)=-1,f´´´(x)=〖2x〗^(-3)=2,f´´´´(x)=〖-6x〗^(-4)=-6

in x≈=0+1/1!(x-1)+(-1)/2!(x-1)^2+2/3!(x-1)^3+(-6)/4!(x-1)^4+⋯,

in x≈=(x-1)-1/2(x-1)^2+1/3(x-1)^3-1/4(x-1)^4+1/5(x-1)^5

Formar la serie de Taylor que aproxima f(x)= sin x centrada en a= π/3

f(x)=sin x=√3/2,f´(x)=cos⁡x=1/2,f´´(x)=-sin⁡x=-√3/2,f´´´(x)=-cos⁡x=-1/2

sin⁡x≈=√3/2+(1/2)/1!(x-π/3)+(√3/2)/2!(x-π/3 )^2-(1/2)/3!(x-π/3 )^3+⋯

Hallar la derivada de la función y=(2+x) e^(x+1) en x= -1

f´(x)=(2+x) e^(x+1)=e^(x+1) (3+x)=2,f´´(x)=(3+x) e^(x+1)=e^(x+1) (4+x)3,

=1+(f´(-1))/1!(x+1)+(f´´(-1))/2!(x+1)^2+⋯,

=1+2(x+1)+3/2(x+1)^2+⋯

Desarrollemos en serie de Taylor la función f(x)=∛7 en las proximidades del punto x=8 (valor más próximo a 7 con raíz cubica exacta)

f´(x)=∛x→f(8)=2

f´(x)=1/3 x^(-2/3)=1/12,f´´(x)=-2/9 x^(-5/3)=-1/144,f´´´(x)=10/27 x^(-11/3)=10/(27x^(3 ) √(3&x^2 ))

f(x)=2+((x-8))/12-(x-8)^2/288+⋯

Sea la función f(x)= √x que vamos a desarrollar en serie de Taylor en las proximidades del punto 9 (valor entero mas próximo por defecto ql 10 cuya raíz nos han pedido, que tiene raíz exacta).

f´(x)=1/(2√x)=f´(9)=1/6,f´´(x)=(-2 1/(2√x))/4x-1/(4x√x)= f´´(9)=-1/108

f(x)=f(9)/1! (x-9)+(f´´(9))/2!(x-9)^2+T_2 (x)=3+(x-9)/6-((x-9)^2)/216+T_2 (x)

f(x)=√x=3+(x-9)/6+T_1 (X)→f(10)=√10=3+1/6-1/8x_0 √(x_0 ) (x-9)^2

Ejemplos

Formar la serie de Taylor que aproxima a f(x)= in x para x cercana a=1

f(x)=in x=0,f´(x)=1/x=1,f´´(x)=-x^(-2)=-1,f´´´(x)=〖2x〗^(-3)=2,f´´´´(x)=〖-6x〗^(-4)=-6

in x≈=0+1/1!(x-1)+(-1)/2!(x-1)^2+2/3!(x-1)^3+(-6)/4!(x-1)^4+⋯,

in x≈=(x-1)-1/2(x-1)^2+1/3(x-1)^3-1/4(x-1)^4+1/5(x-1)^5

Formar la serie de Taylor que aproxima f(x)= sin x centrada en a= π/3

f(x)=sin x=√3/2,f´(x)=cos⁡x=1/2,f´´(x)=-sin⁡x=-√3/2,f´´´(x)=-cos⁡x=-1/2

sin⁡x≈=√3/2+(1/2)/1!(x-π/3)+(√3/2)/2!(x-π/3

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