Calculo Integral

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar el área que hay entre las gráficas de 〖 x〗^(2 )+2 y g(x)=1-x entre x=0 y x=1

Área sombreada = =∫_0^1▒〖[f(x)-g(x))]dx〗

=∫_0^1▒〖f(x)dx- ∫_0^1▒g(x)dx〗 =∫_0^1▒〖((x^2 〗+2)-(1+x))dx

=∫_0^1▒(x^2+1+x)dx =∫_0^1▒〖x^2 dx〗+∫_0^1▒〖1dx+∫_0^1▒xdx〗

=4/3+∫_0^1▒〖xdx=4/3+1/2=11/6〗 R=/ 1.83 unidades cuadradas

2. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de f ( x ) = ( x − 1) 2 y g ( x ) = − x + 3 .

Se puede hacer en dos fases, de x=-1 a x=0 y de x=0 a x=2, teniendo en cuenta que se tratan de áreas que no pueden ser negativas por tanto se sumaran sus valores absolutos.

Primer intervalo =∫_(-1)^0▒〖[f(x)-g(x))]dx〗

=∫_(-1)^0▒〖[(x-1)^2-(-x+3)]dx〗 =∫_(-1)^0▒〖[(x-1)^2+x-3]dx〗

=∫_(-1)^0▒〖(x-1)^2 dx+∫_(-1)^0▒x dx+∫_(-1)^0▒〖-3〗 dx〗 =∫_(-2)^(-1)▒〖(u)^2 du+∫_(-1)^0▒x dx+∫_(-1)^0▒〖-3〗 dx〗

=7/3+∫_(-1)^0▒〖xdx+〗 ∫_(-1)^0▒〖-3dx 〗 =11/6+∫_(-1)^0▒〖-3dx=-7/6=1.16 Unidades^2 〗

Calculamos el área del segundo intervalo =∫_0^2▒〖[(x-1)^2+x-3]dx〗

=∫_0^2▒〖(x-1)^2 dx+∫_0^2▒x dx+∫_0^2▒〖-3 dx〗〗 =∫_(-1)^1▒〖(u)^2 du+∫_0^2▒x dx+∫_0^2▒〖-3〗 dx〗

=2/3+∫_0^2▒〖xdx+〗 ∫_0^2▒〖-3dx 〗 =8/3+∫_0^2▒〖-3dx=-10/3=3.33 Unidades^2 〗

El área total es la suma de las áreas de los dos intervalos: =1.166+3.33=4.5 Unidades^2

3. Hallar el área de superficie lateral del sólido que se obtiene al rotar la gráfica de 2√(2&x) entre x = 3 y x = 8 alrededor del eje X.

Dado que al rotar la curva la resultante es simétrica respecto al eje x, podemos integrar en el primer cuadrante con x entre 3 y 8 y luego multiplicar por 2

=∫_3^8▒〖2√x dx〗 =2∫_3^8▒√x dx

2∫_(√3)^(√8)▒〖2u^2 du〗 4∫_(√3)^(√8)▒〖2u^2 du〗

=32/3 √(8 )-4√3 =30.5-6.92=23.23

Para obtener el área total dada la simetría, multiplicamos el resultado por 2.

=23.23x2=46.46 Unidades^2

4. Hallar la longitud de y=x^3/6+1/2x entre x = 1 y x = 3.

Dado que la curva en el intervalo propuesto es muy cercano a cero, integramos la zona bajo la curva limitada en el intervalo dado, por la curva y el eje X.

= ∫_1^3▒(1/6 x^3+1/2x)dx

= ∫_1^3▒〖1/6 x^3 dx+∫_1^3▒〖1/2x dx〗〗

=1/6 ∫_1^3▒〖x^3 dx+∫_1^3▒〖1/2x dx〗〗 =10/3+ ∫_1^3▒〖1/2x dx〗

=10/3+1/2 ∫_1^3▒〖1/x dx〗 =10/3+1/2 ln⁡(3)

=3.33+1/2*1.098=3.3333*0.5493 Área = 1.831 undades^2

5. La región limitada por las gráficas de f (x) = x y g (x) = 0.5 x 2 gira alrededor del eje X.

¿Cuál es el volumen del sólido que resulta de esta rotación?

El volumen de la arandela generada por el giro, está dado por la diferencia de radios r1 y r2 y por el espesor (dx). =π.(r1)^2-π(r2)^2 ,en el intervalo donde se cruzan las gráficas (entre x=0 y x=2), donde r2=0.5x2 y r1=x

v=π.(r1)^2-π(r2)^2 v=π∫_0^2▒〖(r1)^2-(r2)^2 dx〗

=∫_0^2▒〖π(x^2-(〖0.5x〗^2 )^2 dx〗 =∫_0^2▒〖π(x^2-0.5x^4)dx〗

=π(x^3/3-(0.5x^5)/5)|■(2@0)┤ =π(2^3/3-(0.5(2)^5)/5)

=π(8/3-16/5)

v= π*8/15=1.67 unidades^3

6. La región limitada por las gráficas de y = (x −1)2 y y = 1 + x se hace girar alrededor del eje X. Hallar el volumen del sólido resultante.

v=π.(r1)^2-π(r2)^2 v=π∫_0^3▒〖(r1)^2-(r2)^2 dx〗

=∫_0^3▒〖π((〖x-1)〗^2 )^2-(x+1)^2 dx〗 =π∫_0^3▒〖(x-1)^4-(x+1)^2 dx〗

=∫_0^3▒〖(x-1)^4 dx+∫_0^3▒〖-(x+1)^2 dx〗〗

=∫_(-1)^2▒〖u^4

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