MODELOS DE TRANSPORTE

1. Modelos de Transporte, Asignación y Transbordo

Los problemas de transporte, asignación y transbordo corresponden a una clase especial de problemas de programación lineal conocida como problemas de flujo de red. Estos problemas tienen una estructura matemática que ha permitido que los científicos de la administración desarrollen para su solución eficientes procedimientos especializados; como resultado, incluso problemas grandes pueden resolver con apenas unos cuantos segundo de tiempo de computadora.

1.1 Modelo de Transporte

EL MODELO DE RED Y UNA FORMULACION DE PROGRAMACION LINEAL

El problema de transporte frecuentemente se presenta al planear la distribución de bienes y servicios desde varias localizaciones hacia varas ubicaciones de la demanda. Típicamente, la cantidad de los bienes disponibles en cada localización de suministro (origen) es limitada, y la cantidad de los bienes necesarios en cada una de las localizaciones de demanda (Destino) es conocida. Por lo general, en un problema de transporte, el objetivo es minimizar el costo de embarcar los bienes desde los orígenes hasta los destinos.

Ilustremos lo anterior, considerando un problema de transporte al que se enfrenta la corporación XYZ. Este problema involucra el transporte de un producto desde tres plantas hasta cuatro centros de distribución. XYZ tiene plantas en Quito, Lima y Santiago. La capacidad de producción para el siguiente período de tres meses de planeación para un tipo específico de generador es como sigue:

Origen Planta Capacidad de producción

de tres meses (unidades)

1 Quito 5 000

2 Lima 6 000

3 Santiago 2 500

Total 13 500

La empresa distribuye sus generadores a través de cuatro regionales de distribución, localizados en Buenos Aires, Río de Janeiro, Bogotá y Caracas; el pronóstico de la demanda de tres meses de los centros de distribución es como sigue:

Destino Mercado Pronóstico de demanda

a tres meses (unidades)

1 Buenos Aires 6 000

2 Río de Janeiro 4 000

3 Bogotá 2 000

4 Caracas 1 500

Total 13 500

La administración desearía determinar cuánto de su producción deberá embarcarse desde cada una de las plantas hasta cada uno de los centros de distribución. La figura siguiente muestra de manera gráfica las 12 rutas de distribución que XYZ puede utilizar. Esta gráfica se conoce como una red; los círculos son los nodos y las líneas que los conectan, los arcos. Cada origen y destino queda representado por un nodo y cada ruta de embarque posible por un arco. La oferta o suministro se escribe al lado de cada nodo origen y la demanda se escribe al lado de cada nodo destino.

Representación en Red del problema de transporte de XYZ

Los bienes embarcados de los orígenes hacia los destinos representan el flujo en la red. Note que la dirección de flujo (de origen a destino) queda representada por las flechas.

Para el problema de transporte de XYZ, el objetivo es determinar las rutas a usar y la cantidad a embarcar en cada una de ellas, y que den el mínimo costo de transporte total. El costo de cada unidad embarcada en cada una de las rutas aparece en la tabla siguiente y se muestra en cada uno de los arcos de la figura anterior.

Buenos Río de

Aires Janeiro Bogotá Caracas

Quito 3 2 7 6

Lima 7 5 2 3

Santiago 2 5 4 5

Para resolver este problema de transporte se puede utilizar un modelo de programación lineal. Utilizaremos variables de decisión con dobles subíndices, indicando con X11 el número de unidades que se embarcan del origen 1 (Quito) al destino 1 (Buenos Aires), con X12 el número de unidades embarcadas del origen 1 (Quito) al destino 2 (Río de Janeiro), y así sucesivamente. En general, para un problema de transporte con m orígenes y n destinos, las variables de decisión se escriben como sigue:

xij=número de unidades embarcadas del origen i hasta el destino j

Donde i = 1,2,…,m y j = 1,2,…,n

En vista de que el objetivo del problema de transporte es minimizar el costo total del transporte, podemos utilizar, para desarrollar las siguientes expresiones de costo, los datos de costo de la tabla anterior o que aparecen sobre los arcos de la Red anterior.

Costo de transporte para unidades embarcadas desde Quito = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14

Costo de transporte para unidades embarcadas desde Lima = 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24

Costo de transporte para unidades embarcadas desde Santiago = 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34

La suma de estas expresiones nos da la función objetivo que nos muestra el costo total de transporte de XYZ.

Los problemas de transporte necesitan restricciones, dado que cada uno de los orígenes tiene un suministro limitado y cada destino tiene una demanda específica. Veremos que en primer término las restricciones de suministro. La capacidad de la planta de Quito es de 5 000 unidades. Con el número total de unidades que se embarcan desde la planta de Quito expresado de la forma x11+x12+x13+x14, la restricción de suministro de la planta de Quito será:

x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 5000 Suministro de Quito

Con tres orígenes (plantas), el problema de transporte de Foster tiene tres restricciones de suministro. Dada la capacidad de 6 000 unidades en la planta de Lima y de 2500 unidades en Santiago, las dos restricciones de suministro adicionales son:

x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 5 000 Suministro de Lima

x31 + x32+ x33 + x34 ≤ 5 000 Suministro de Santiago

Con los cuatro centros de distribución como destino se requiere de cuatro restricciones de demanda para asegurar que se satisfarán las demandas en los destinos:

x11 + x21 + x31 = 6 000 Demanda de Buenos Aires

x12 + x22 + x32 = 4 000 Demanda de Río de Janeiro

x13 + x23 + x33 = 2 000 Demanda de Bogotá

x14 + x24 + x34 = 1 500 Demanda de Caracas

Combinando la función objetivo y las restricciones en un modelo, obtenemos una formulación de programación lineal, con 12 variables y siete restricciones del problema de transporte de XYZ:

Min. 3x11 + 2x12+ 7x13 + 6x14 + 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24 + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34

Sujeto a

x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 5000

x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 6000

x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 2500

x11 + x21 + x31 = 6000

x12 + x22 + x32 = 4000

x13 + x23 + x33 =2000

x14 + x24 + x34 =1500

xij ≥ 0 para i = 1,2,3 y j = 1,2,3,4

Comparando la formulación de programación lineal con la figura de la Red de este problema nos lleva a varias observaciones. Toda la información necesaria para la formulación de la programación lineal aparece en la red. Cada nodo tiene una restricción y cada arco tiene una variable. La suma de las variables correspondientes a los arcos desde el nodo origen debe ser menor que o igual al suministro de dicho origen, y la suma de las variables que corresponden a los arcos que llegan a un nodo destino debe ser igual a la demanda de dicho destino.

Solución de Lindo 6.0 al problema de transporte de XYZ

Resolvimos el problema de XYZ utilizando el software LINDO 6.0. La solución por computadora mostrada en el cuadro siguiente muestra que el costo total de transporte mínimo es de 39 500 dólares. Los valores de las variables de decisión muestran los valores óptimos a embarcar en cada ruta. Por ejemplo, con x11 = 3500, deberán embarcarse 3500 unidades de Quito hacia Buenos Aires, y con x12 = 1500, deberán embarcarse 1500 unidades de Quito a Río de Janeiro. Otros valores de las variables de decisión indican las cantidades y rutas de los embarques restantes

La siguiente tabla muestra el programa de transporte de costo mínimo y la figura resume la solución óptima en la red.

Variantes al problema

El problema de XYZ ilustra el uso del modelo de trasporte básico. Las variantes al problema de transporte básico pueden implicar una o más de las siguientes situaciones:

1. Oferta o suministro total no igual a la demanda total

2. Maximización de la función objetivo

3. Rutas con capacidad limitada

4. Rutas no aceptables

Con ligeras modificaciones en el modelo de programación lineal estas situaciones se pueden tomar en cuenta fácilmente.

Suministro total no igual a la demanda total. A menudo el suministro total no es igual a la demanda total. Si el suministro total es mayor a la demanda total, no es necesaria ninguna modificación a la formulación de la programación lineal. Aparecerá en la solución de la programación lineal un suministro excedente, como una holgura. La holgura correspondiente a cualquier origen en particular se puede interpretar como suministro u oferta sin utilizar, es decir, una cantidad que no se ha embarcado desde el origen.

Si el suministro total es inferior a la demanda total, el modelo de programación lineal de un problema de transporte no tendrá una solución factible. En este caso, se intercambia la dirección de las restricciones, así las restricciones de oferta serán del tipo igual y las de demanda del tipo menor o igual. En este caso quedarán destinos no satisfechos en sus requerimientos.

Función objetivo de maximización. En algunos problemas de transporte, el objetivo es encontrar una

...