Aplicación a la minimización de costos de dosificación de medicamentos
Enviado por Isaac Dario Santisteban Roldan • 6 de Junio de 2023 • Prácticas o problemas • 724 Palabras (3 Páginas) • 128 Visitas
Ejercicio 2: Aplicación a la minimización de costos de dosificación de medicamentos
La enfermedad de la Gota se caracteriza por un exceso de ácido úrico en la sangre. Este exceso puede reducirse hasta un nivel aceptable mediante el suministro de una medicación adecuada. Si medimos el exceso de ácido úrico mediante la variable de estado “”, y mediante “” el suministro de medicamento; la prevalencia de la enfermedad varía según la ecuación: [pic 1][pic 2]
[pic 3]
Sin medicamentos, , la variable de estado de la enfermedad (prevalencia) se mantiene en equilibrio en un nivel , que es demasiado alto. Si la medicación se suministra de forma continua y no en dosis discretas, los medicamentos reducir el nivel de la enfermedad hasta cero. Podemos suponer que el estado inicial es el equilibrio 1, por tanto , y que en en tiempo T el estado es el aceptable en el cual .[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]
Se puede reducir la presencia de ácido úrico utilizando una gran cantidad de medicamentos óptima. La sobre dosis de medicamento tiene efectos secundarios adversos, pero también el medicamento es caro. La función de costos que equilibra estos dos componentes es:
[pic 8]
El primer componente crece con el tiempo final y el segundo con la cantidad de medicamento utilizado. La constante k mide la importancia relativa de las dos componentes. Encuentre la trayectoria óptima , el control óptimo y el tiempo T necesario para reducir el ácido úrico hasta el nivel adecuado.[pic 9][pic 10]
Solución: El Hamiltoniano será: [pic 11]
1° ⟹ [pic 12][pic 13]
2° ⟹ [pic 14][pic 15]
3° ⟹ [pic 16][pic 17]
De 3° el factor de integración: ⟹ ⟹ ⟹ [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]
Reemplazando en 1°: [pic 22]
Reemplazando en 2° ⟹ El factor de integración será: [pic 23][pic 24]
Luego: ⟹ [pic 25][pic 26]
⟹ [pic 27][pic 28]
Utilizando la condición inicial: ⟹ (a)[pic 29][pic 30]
La condición de transversalidad: [pic 31]
[pic 32]
⟹ (b)[pic 33][pic 34]
Reemplazando (a) en (b): ⟹ ⟹ [pic 35][pic 36][pic 37]
Luego: Las trayectorias óptimas serán: (ojo: ver definiciones de las funciones trigonométricas hiperbólicas)
; ; y [pic 38][pic 39][pic 40]
Cuando ⟹ ⟹ [pic 41][pic 42][pic 43]
A mayor , menor tiempo T, pero mayor dosis “u”. A menor mayor T y menor dosis. Si ⟹ T⟶∞. No hay solución con k=0.[pic 44][pic 45][pic 46]
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