Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Тaylor

4.7 CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DE TAYLOR.

convergencia llamamos an =

1

n

y obtenemos

A = l´ım

n

n p

|an| = l´ım

n

n

r

1

n

= l´ım

n

1

npn

= 1 ) R = 1

As´ı pues, la serie es (absolutamente) convergente si |x| < 1 y divergente

si |x| > 1. Para averiguar la convergencia en los extremos del intervalo

ser´a necesario realizar el estudio particular.

x = 1 )

X+∞

n=1

1n

n

=

X+∞

n=1

1

n

(divergente)

x = −1 )

X+∞

n=1

(−1)n

n

(convergente)

Concluimos, finalmente, que el intervalo de convergencia es I = [−1, 1[.

Ejercicio 4.1 Calcula el radio de convergencia de la serie

X+∞

n=1

(2x)n

n2 .

(Sol.: R =

1

2

)

81

Ejercicio 4.2 Calcula el intervalo de convergencia de la serie

X+∞

n=0

xn

n!

.

(Sol.: I = R )

Ejercicio 4.3 Calcula el intervalo de convergencia de la serie

X+∞

n=0

(3x)n

(2n)!

,

incluyendo el estudio de la convergencia en los puntos extremos.

(Sol.: I =] −1,+1[= R )

Ejercicio 4.4 Calcula el intervalo de convergencia de la serie

X+∞

n=1

(−1)n+1x

caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

En una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:

sin (x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13

Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin

http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html

http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/TaylorSeriesMod.html

4.6 REPRESENTACION DE FUNCIONES MEDIANTE LA SERIE DE TAYLOR

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función

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