CALCULO INTEGRAL SERIES
Enviado por frankooli • 15 de Junio de 2015 • 1.624 Palabras (7 Páginas) • 454 Visitas
UNIDAD IV: SERIES
4.1 Definición de serie
Dada una serie se denotará mediante el símbolo
a a su “n-ésima” suma parcial:
Si la sucesión { } y si existe el límite como un número real, entonces la serie , se llama convergente y se escribe:
=S ò
El número “S” se denomina suma de la serie. Si es otro el caso, la serie se llamará divergente.
4.1.2 serie Finita.
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita.
Una serie finita termina finitamente, esto es, tiene definido tanto el primer como el último término.
Por otro lado, una serie infinita continúa sin interrupción.
Por ejemplo: {1, 3, 6, 8} se puede considerar como una serie finita, mientras que una serie de la forma {2, 4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita.
4.1.2 serie Infinita.
Si intentamos sumar los términos de una sucesión infinita obtendremos esta suma de la siguiente manera:
La cual se llama “Serie infinita” o solo “Serie”, y se representa con el símbolo:
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Una serie infinita es condicionalmente convergente si es
Convergente y es divergente.
4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D’Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy).
¿Para que valores de la serie es convergente?
Al aplicar la regla de comparación. Si denota con como se acostumbra, el n-ésimo término de la serie, después Si
Según la regla de comparación, la serie es divergente cuando . En estos términos, la serie dada converge cuando
Por la prueba de la razón, la serie original es absolutamente convergente; por lo tanto, converge cuando y diverge cuando Ahora bien
y converge cuando y diverge cuando
La prueba de la razón no proporciona informacion para el caso asi que debemos de considerar por separado cuando y . Con en la serie, esta se transorma en , una serie armonica divergente. Si la serie es , que converge de acuerdo con la prueba de la serie alternante.
Teorema A
El conjunto de convergencia de una serie de potencias es siempre un intervalo de uno de los siguientes 3 tipos.
¡) El único punto
ii) Un intervalo (-R,R), incluyendo posiblemente a uno o ambos extremos.
iii) Toda la recta real.
En (i),(ii) y (iii), se dice que la serie tiene radio de convergencia respectivamente.
Teorema B
Una serie de potencias converge absolutamente en el interior su intervalo de convergencia.
4.3 Serie de potencias
Una serie de potencias es aquella que tiene la forma:
En donde “x” es una variable y los son constantes, llamadas “constantes de la serie” y cada “x”, fija, la serie (1) es una serie de constantes que podemos probar para ver si es convergente. Una serie de potencias puede converger ante ciertos valores de “x” y divergir de otros. La suma de la serie de una función:
Cuyo dominio es el conjunto de todas las para las cuales la serie es convergente. Observe que es parecida a un polinomio. La única diferencia es que tiene una cantidad infinita de términos.
Se llama serie de potencias en (x-a), o serie de potencias centrada en a o serie de potencia alrededor de a.
4.4 Radio de convergencia.
En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma con viene dado por la expresión:
Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma , con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse
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