Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Тaylor

4.2.6. CÁLCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DE TAYLOR.

En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación

Una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

DEFINICIÓN

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como

Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

SERIES DE MACLAURIN (TAYLOR ALREDEDOR DE 0) NOTABLES

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural

Serie geométrica

Teorema del binomio

Para

Y cualquier complejo

Funciones trigonométricas

Donde Bs son los Números de Bernoulli.

Funciones hiperbólicas

PASOS PARA ENCONTRAR UNS SERIE DE TAYLOR

1.- derivar varias veces y evaluar cada derivada en c.

Intentar de reconocer un patrón en estos números

2.- usar la sucesión desarrolla en el primer paso formar los coeficientes de Taylor y de terminar el intervalo de convergencia de la serie de potencia resultante.

3.- dentro de este intervalo de convergencia, determine si la serie converge o no a f(X)

La determinación directa de los coeficientes de Taylor o de Maclaurin usando derivación sucesiva pude ser difícil.

CASO DE UNA VARIABLE

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y +1 veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que:1

(1a)

O en forma compacta

(1b)

Donde denota el factorial de , y es el resto, término que depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionan a continuación:

(2a)

donde y , pertenecen a los números reales, a los enteros y es un número real entre y :2

(2b)

Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización

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