Calculo Integral Series

UNIDAD 4 (SERIES)

4.1 Definición de serie

Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina.

Por ejemplo 1, 4, 9, 16, 25

Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie:

1 + 4 + 9 + 16 + 25

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie de llama sucesión infinita.

El término general ó término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

4.1.2 Serie Infinita.

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,

Son series de la forma S an (x - x0)n ; los números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.

Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros.

4.1.1 serie Finito

Las series tienen una características fundamental con respecto a su límite y esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestión las series finitas son objeto de análisis.

Observando la serie que se encuentra al costado izquierdo y mediante un análisis de sus componentes encontramos el límite superior determinado por “N”, esto significa que la serie esta superiormente acotada a cualquier numero natural, y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a que tiene un numero finito de elementos acotados por "N".

Una serie numerica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

2, 4, 8, 16, 32, 64,....

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5

3, 6, 10, 12, 14, 20

Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita

4.2 Serie numerica y convergencia

*La serie armonica es la serie

La serie armónica es divergente

* Una serie añternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

*Una serie telescópica es la suma donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

* Una serie hipergeometrica es una serie de la forma

que cumple que

=

Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).

Condición del resto

Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

el Criterio de D'Alembert establece que:

•si L<1,la serie converge.

•si L>1,entonces la serie diverge.

• si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

Lo primero que miraremos cuando nos encontremos con una serie es si la ‘suma infinita’ tiene sentido:

La serie converge si lo hace su sucesion de sumas parciales; otra cosa distinta es que converja su termino general.

De la definicion y de las conocidas propiedades de los límites de sucesiones se deduce inmediatamente que si suprimimos, cambiamos o añadimos un numero finito de terminos al principio de una serie, no se altera su caracter de convergencia o divergencia (aunque si el valor de su suma, si converge), porque las nuevas sumas parciales diferiran de la inicial solo en un constante. Por eso, cuando estemos hablando simplemente de convergencia podremos no escribir el n en que empezamos a sumar; incluso escribiremos s olo “sigma” (no olvidando que son infinitos terminos).

Algunos tipos de series

* Una serie geometrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:

Criterio de Raabe

En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

Sea una serie como la mostrada tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente

Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.

Convergencia absoluta

Una serie alternada an converge absolutamente si

4.3 Series de potencias

Las series finitas que se han estudiado hasta este momento han consistido solo de términos constantes. Ahora se trata un tipo importante de series de términos variables denominadas series de potencias, las cuales pueden considerarse como una generalización de de una función polinomial. En las secciones restantes de este capítulo se estudiara como pueden emplearse las series de potencias para calcular valores de funciones tales como sean x, ln x y (x)˄1/2, las cuales no se pueden evaluar mediante las operaciones aritméticas conocidas y empleadas para determinar valores de funciones racionales.

Definición de una serie de potencias:

Una serie de potencias en x-a es una serie de la forma

Co+C1(x-c)+C2(x-c)˄2+…+Cn(x-c)˄n+…

Si la serie de potencias expuesta anteriormente es convergente para x= x1(x1diferente de 0), entonces es absolutamente convergente para todos los valores de x para los cuales [x]<[x1]

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Teorema

SI la serie de potencias expuesta con anterioridad es divergente para x=x2, entonces es divergente para todos los valores de x para los que [x]>[x2]

*Procedimiento para determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias x-a

1.Aplique el criterio de la razon (o en ocaciones el criterio de la raiz) para determinar el radio de convergencia R de la serie. Algunas series convergen absolutamente paratodos los valores de x.

2.- Si R>0, la serie converge absolutamente para toda x en el intervalo (a-R, a+R) y diverge para

[x-a]>R. Verifique la convergencia en los dos extremos del intervalo (a-R,a+R), por supuesto, nunguna conclucion acerca de la convergencia en los extremos puede inferirse del criterio de la razon o del criterio de la raiz.

4.4 Radio de convergencia

En matematicas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma

con

viene dado por la expresión:

Definición

Si nos limitamos al conjunto de los numeros reales, una serie de la forma , con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores dex que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r =

Ejemplos

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finito

La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x− x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:

.

(para

...