Calculo Integral Serie Unidad 4

4.1 Definición de series………………………………………………………

4.1.1 Serie finita……………………………………………………………………

4.2.1 Serie Infinita………………………………………………………………

4.2 Serie numérica y convergencia prueba de la razón (criterio de D Alembert) y prueba de la raíz (criterio de Cauchy)………………………………………………………………………………...

4.3 Series de potencias…………………………………………………………

4.4 Radio de convergencia……………………………………………………

4.5 Serie de Taylor……………………………………………………………..

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor…………………………………………………………………………………..

4.7 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor……………………………………………………………………..

4.1.-Serie.

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + • • lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: .

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la explícitamente los cálculos.

EJEMPLO

Una serie geométrica es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, la razón r = 1/2):

1+ 1/(2 )+1/4 +1/8+1/16+⋯=∑_(n=0)^∞▒1/2^n

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |r| < 1, a: ∑_(n=0)^∞▒〖az〗^n =a/(1-z)

La serie armónica es la serie

∑_(k=1)^∞▒1/k=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7…

La serie armónica es divergente.

1-1/2+1/3-1/4+1/5-…=∑_(n=1)^∞▒〖(-1)〗^(n+1) 1/n

Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo:

∑_(N=0)^N▒〖(b_n-b_(n+1))〗

Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1:

∑_(N=0)^N▒〖(b_n-b_(n+1))〗

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

S_N=(b_o-b_1 )+(b_1-b_2 )+⋯+(b_(N-1)-b_N )+(b_N-b_(N+1) )=b_0-b_(N+1)

Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:

∑_(n=0)^∞▒a_n con = a_(n+1)/a_n (an+B)/(an+r)

4.1.1 Definición de finita

Una serie numérica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo.2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

2, 4, 8, 16, 32, 64,....

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5

3, 6, 10, 12, 14, 20

Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita Sea f la función definida por f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4}

f(1)= 2x1=2

f(2)= 2x2=4

f(3)= 2x3=6

f(4)= 2x4=8

(2,4,6,8)

f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier numero del intervalo [1, 4]

4.1.2.- Definición de infinita

Se le llama serie infinita, a los elementos ak, k=,1,2,3,…, se le llama a los términos de la serie; an se denominó general. Se representa en forma compacta como k=1∞ak, 0 bien a k , por conveniencia.

Definición: Si {un} es una sucesión y Sn =u1 + u2 ,… un entonces {Sn} es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por n=1+∞un=u1 + u2 + u3 ,… +un +… Los números u1, u 2,u3 … un … son términos de la serie infinita.

EJEMPLO

En las observaciones iníciales de este capítulo se indicó que la representación decimal del numero racional 13 es en la realidad, una serie infinita.

310 +310 2 +3103 +k=1∞310k

* SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES

Para cada serie infinita ∑ ak existe una sucesión de sumas parciales {Sn} definida como sigue:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

Sn = a1 + a2 + a3 +… +an

4.2.- Serie numérica y convergencia prueba de la razón (criterio de D’Alembert) y prueba de la raíz (criterio de Cauchy)

Convergencia: considere las cuatro sucesiones recién definidas. Cada una tiene valores que se aplican cerca de 1. Para que una sucesión converja a 1 , primero debe ocurrir que los valores e la sucesión se acerquen a 1. Pero deben de hacer algo mas que estar cerca; deben permanecer cerca, para toda n mas allá e cierto valor. Esto descarta la sucesión {cn}. Además cerca significa arbitrariamente cerca, es decir, entro de cualquier distancia no nulada a con respecto a 1, lo cual incluye a {dn}. Aunque la sucesión {dn} no comverge; decimos que diverge.

Definición: La sucesión {an} se ice que converge a L y escribimos:

Lim n->∞ , an=L

Si para cada numero positivo ɛ existe un numero positivo correspondiente a N tal que

n>= N -> |an-L|< ɛ

Si no hay un numero finito L al que converja una sucesión, se ice que este diverge, o que es divergente.

**Criterio de D‘ Alembert

(Criterio de la Razón)

Sea una serie Ʃk=1(ak), tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

lim┬(k→∞)⁡〖a_(k+1)/a_k 〗=L

Con {L €[0,+ ∞)} , el Criterio de D‘ Alembert establece que:

si L < 1, la serie converge.

si L > 1, entonces la serie diverge.

si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

**Criterio de Cauchy (Raíz Enécima)

Entonces, si:

L < 1, la serie es convergente.

L > 1 entonces la serie es divergente.

L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe

Sea serie ∑_(k-1)^∞▒lim, tal que a_2>0(serie de términos positivos), Y supongamos que existe〖lim〗┬(k→∞)⁡√(k&a_k )=L, siendo L ∈[0,+∞)

4.3 Serie De Potencias

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de “x”:

f(x)= ∑_(n=0)^(+∞)▒a_n (x-c)^n

Cuyo dominio es el conjunto de los x 2 R para los que la serie es convergente y el valor de f(x) es, precisamente, la suma de la serie en ese punto x.Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento bueno, en el sentido de que son funciones continuas y derivables de cualquier orden. Más aun, su función derivada es, otra vez, una serie de potencias. Desde un punto de vista más practico, las series de potencias aproximan a su función suma. Es decir, la suma parcial de orden n, que no es más que un polinomio de grado n a lo sumo, representa una aproximación a la función suma en su dominio de convergencia. En la siguiente figura (Figura 1.0), puede verse la función f(x) = ex junto con algunas aproximaciones mediante sumas parciales de su serie de potencias.

Aproximación a ex por su serie de potencias

La siguiente imagen muestra el teorema de la serie de potencias, ejemplificando lo descrito anteriormente

TEOREMA.

Si la función f viene definida por una serie de potencias ∑_(n=0)^∞▒a_n (x-a)^n con radio de convergencia R>0 entonces.

f continúa en todo punto interior al intervalo de convergencia.

f es derivable en el intervalo de convergencia y su derivad f (x) puede obtenerse mediante la derivación termino a término: f(x)= ∑_(n=0)^∞▒a_n (x-a)^n siendo el radio de convergencia de esta

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