Econometria

Problema 1

Parte i)

El modelo que utilizaremos será:

Y=X*β+ε

Además supondremos que:

Que el Error, que corresponde al término aleatorio, sigue una distribución Normal con una distribución de densidad, que describiremos a continuación.

f(ε_i )=1/(σ√2π) e^[- 〖ε_i〗^2/(2σ^2 )] con i=1,…,n

Siendo 〖ε_i〗^2=(y_i-x_i^' β)^2

El Maximizar la probabilidad de obtener la muestra ya disponible es equivalente a maximizar dicha función antes expresada, pero para esto debemos tener en cuento otros supuestos adicionales:

Homocedasticidad V(ε_i )=V(ε_j)

Ausencia de auto correlación COV(ε_i,ε_j )=0

Es por esto que la función de densidad conjunta es:

La siguiente expresión se encuentra ya reemplazado el valor de 〖ε_i〗^2=(y_i-x_i^' β)^2

Por lo tanto

f(y_i )=1/(σ√2π) e^[- (y_i-x_i^' β)^2/(2σ^2 )]

Que al realizar los cálculos para obtener la expresión de Máxima Verosimilitud tenemos:

L(y_1,…,y_n/β,σ)= ∏_(i=1)^n▒1/(σ√2π) e^[- (y_i-x_i^' β)^2/(2σ^2 )]

Desarrollando la pitatoria…

L(y_1,…,y_n/β,σ)= 1/(σ√2π)^n ∏_(i=1)^n▒e^[- (y_i-x_i^' β)^2/(2σ^2 )]

L(y_1,…,y_n/β,σ)=1/(σ√2π)^n e^[- (∑▒(y_i-x_i^' β)^2 )/〖2σ〗^2 ]

Para linealizar la función debemos calcular el logaritmo de la función antes desarrollada.

log⁡〖(L)= -n/2〗 log⁡(2π)-n/2 log〖(σ〗^2)-1/〖2σ〗^2 (Y-Xβ)^' (Y-Xβ)

Obtenida ya la expresión, tenemos que tener claro que al utilizar el Método de máxima verosimilitud, se trata de buscar los parámetros que maximicen la función que lleva el mismo nombre.

Es por esto que para obtener los valores para β ̂ y σ debemos derivar la función en base a cada uno de estas variables:

(∂log⁡(L))/∂β=-1/(2σ^2 ) (2X^' Xβ-2X^' Y)=0 ∕-(2X^' Y)/(2σ^2 )

(∂log⁡(L))/∂β=-1/(2σ^2 ) 2X^' Xβ=-(2X^' Y)/(2σ^2 ) ∕*-1/(2σ^2 )

(∂log⁡(L))/∂β=2X^' Xβ=2X^' Y∕*(-1)/2

(∂log⁡(L))/∂β=X^' Xβ=X^' Y/*〖(X'X)〗^(-1)

〖β ̂〗_MV=(X^' X)^(-1) X^' Y

Sacando ahora la varianza:

(∂log⁡(L))/(∂σ^2 )=-n/2 (1/σ^2 )+1/(2σ^4 ) (Y-Xβ)^' (Y-Xβ)=0

〖σ ̂^2〗_ε=((Y-Xβ)^' (Y-Xβ))/n=(e^' e)/n

Parte ii)

Encuentre una expresión para el valor-p del contraste de hipótesis donde la nula es〖 H〗_0=β_0. Donde β_0 es un vector columna con k + 1 constantes conocidas.

Contraste:

Ho:B ̂-Βo=0

H_1:B ̂-B_o=0

El valor p descrito para este contrate de hipótesis es el siguiente: p= 2 Pr⁡〖(τ>t_p 〗)

Como en todo contrate de hipótesis debemos conocer el valor p con cual rechazar nuestra hipótesis nula, es por esto que necesitamos el valor de t de tabla con el que podamos calcular la probabilidad del valor p.

Es por esto que para el cálculo de t_p tenemos:

t_p=(B ̂-Βo)/(√(V ̃(B ̂ )))

t_p=(B ̂-Βo)/√(((Y-Xβ)^' (Y-Xβ))/n)

Por lo tanto de dicho valor obtenemos la expresión para nuestro valor de p, el cual queda expresado de la siguiente manera:

valor p=2Pr(τ>(B ̂-Βo)/√(((Y-Xβ)^' (Y-Xβ))/n))

Parte iii)

Si se define el estimador, de la siguiente manera:

β ̃=〖(X^' X+wI)〗^(-1) X'Y

Tomando en cuenta que:

I=matriz de identidad

w>0

Debemos demostrar que V(β_1)< β ̂_MV

Si hipotéticamente nuestro estimador β_1 hubiera sido resultado de un proceso de máxima verosimilitud

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